W07 Fizyka Haran


Fizyka dla elektroników 1
Dr Grzegorz Harań
Wykład 07
Mechanika
Energia potencjalna i zasada zachowania energii
ą
F =-" u=-grad u - energia potencjalna  siła potencjalna
u ą u u
ą
F d r
ą=-duśą x , y , zźą=-ą x dx-ą y dy-ą z dz
ą ą
rąB
u śąrąAźą-uśą rBźą - praca nie zależy od drogi
+" ą
r
ąA
ą
ą=0
."F d r
Zasada zachowania energii mechanicznej
Energia mechaniczna = energia kinematyczna + energia potencjalna
E=K ąU
ą
F m
Policzmy pracę jaką wykona siła potencjalna przy przesunięciu cząstki o masie z
ąA ąB
rąA rąB V V
położenia do położenia . Cząstki w tych położeniach mają prędkości i .
rąB
ą
W = F d r śąrąAźą-U śąrąBźą
+" ą=U
rąA
Z twierdzenia o pracy i energii mamy:
2 2
mV mV
B A
W = - =K -K
B A
2 2
U śąrąAźą-U śąrąBźą=K -K tzn.
B A
K ąU śąrąAźą=K ąU śąrąAźą! K ąU =const
B B
Pokazaliśmy zasadę zachowania energii mechanicznej: siły potencjalne nie zmieniają
energii mechanicznej cząstki.
E=K ąU =const
Układy jednowymiarowe
ą U ąU ą U ą ą ą
ą
F =-" U =- , , , "= , ,
śą źą śą źą
ą x ą y ą z ą x ą y ą z
ąU ą U ą U
ą
F =śą F ,0,0źą śą F ,0 ,0źą=- , ,
w jednym wymiarze i czyli
śą źą
ą x ą y ą z
ą U ą U dU
F =-ą U , = =0 F =-
tzn.
ą x ą y ą z dx
F
Widzimy, że warunkiem istnienia energii potencjalnej (potencjalności siły ) jest jej
F
całkowalność tzn. istnieje i dodatkowo musi być jednoznacznie określoną funkcję
+"F dx
położenia.
Przykład siły niepotencjalnej:
siła tarcia
dU
-ą mg=-
dx#"x niejednoznacznie określona przez położenie
dU
ąmg=-
dx#"x
dU
T `"- mimo że jest całkowalna.
czyli
dx
Żadna siła, która zależy od prędkości nie jest siłą potencjalną.
Jednowymiarową siłą potencjalną jest siła sprężystości
F =-kx
x
1 1 1
U śą xźą-U śą x0źą=- śą-kxźą dx= kx2#"x = kx2- kx2
Policzmy energię potencjalną
+"
x0 0
2 2 2
x0
Fizyczne znaczenie ma tylko różnica energii potencjalnej tzn. praca wykonana przez siłę
x
U śą x źą= FdxąU śą x0źą
potencjalną. Aby określić funkcję energii potencjalnej musimy przyjąć
+"
x0
U śą x0źą x0
U
wartość i wartość tzn. określić punkt od którego liczymy wartości , czyli znalezć
 poziom zero energii potencjalnej. Energia potencjalna jest określona z dokładnością do stałej
U śą x0źą U śą x0źą=0
i dlatego najlepiej wybrać .
x0=0 U śą x0=0źą=0
Dla siły sprężystości fizycznie naturalnym wyborem jest i , tzn. U =0
gdy układ jest w położeniu równowagi (nie działa siła sprężystości). Wtedy
x
1
U śą x źą=- śą-kxźądx= kx2
+"
2
x0
Zasada zachowania energii mechanicznej dla siły sprężystości:
1 1
2
mV ą kx2=const
2 2
Układy trójwymiarowe
ą ą ą
ą
Aśą x , y , zźą=śą Axśą x , y , zźą , Ayśą x , y , zźą , Az śą x , y , zźąźą "= , ,
śą źą
ą x ą y ą z
ą ą ą
A A A
Definiujemy rotację pola (siły ) (iloczyn wektorowy gradientu i )
ęą
( )
#"ęą#"=#"ęąj#"=#"k#"=1
i
ęą
ęą ęąj k
i
ą Az ą Ay ą Ax ą Az ęą ą Ay ą Ax
ą ą ą
ą
rot A="ą =ęą - ąęąj - ąk - =
A= i
śą źą śą źą śą źą
ą x ą y ą x
ą y ą z ą z ą x ą x ą y
#" #"
Ax Ay Az
ą Az ą Ay ą Ax ą Az ą Ay ą Ax
= - , - , -
śą źą
ą y ą z ą z ą x ą x ą y
Rotacja robi z wektora wektor (mówi czy pole ma wiry).
Twierdzenie Stokesa:
ą F ą F ą F ą F ą F ą F
x x y y z z
ą
F =śą F , F , F źą
Jeśli jest ciągła wraz z pochodnymi , , , , , to
x y z
ą y ą z ą x ą z ą x ą y
ą
ą ą
S F d l
,"śąrot F źą"d ą=."
ą
Sc
c d S
gdzie jest powierzchnią, a jej brzegiem jest
Sc c
ą
d S
zorientowanym różniczkowym elementem powierzchni, tzn jest
normalny do powierzchni (prostopadły),
ą
#"d S#"=dS = pole powierzchni elementu
dS
ą
d l to zorientowany różniczkowy element długości
ą#"=dl=
#"d l długość elementu .
dl
ą ą
d l d S
Kierunki i są określone regułą prawej ręki.
ą ą
śąrot F źą"d S - iloczyn skalarny dwóch wektorów.
ą
F
Jeśli siła jest określona w obszarze powierzchniowo jednospójnym (na dowolnej krzywej c
ą
Sc
F
można rozpiąć powierzchnię , która całkowicie zawiera się w tym obszarze), to jest
ą
potencjalna wtedy i tylko wtedy, gdy rot F =0 .
ą
ą ."F dl=0 dla każdej krzywej c
F Jest potencjalna wtedy i tylko wtedy, gdy
c
Tw.Stokesa
ą ą=0 dla powierzchni Sc której brzegiem jest c czyli dla dowolnej
! śąrot F źą"d S
,"
S
c
ą
Sc! rot F =0
powierzchni .
Ważne pola potencjalne:
ą
F =śą F , F , F źą=const
1. Pole jednorodne
x y z
ą
rot F =0 czyli pole jest potencjalne
r
ą
ą
U śąrźą-U śąr0źą= F d r
ą ą +" ą=
r0
ą
śąx , y , z źą śąx , y , z źą
=- śą F , F , F źą"śą dx , dy , dzźą=- śą F dxąF dyąF dzźą=
+" +"
x y z x y z
śąx0 , y0 , z źą śąx0 , y0, z źą
0 0
x y z
=-F dx- F dy-F dz=-F śą x-x0źą-F śą y- y0źą- F śą z-z0źą
+" +" +"
x y z x y z
x0 y0 z0
ą
U śąr
otrzymaliśmy ąźą-U śąr0źą=-F śąr-r0źą
ą ą ą
Przykładem takiego pola jest jednorodne pole grawitacyjne (w pobliżu Ziemi)
ą
F =śą0,0 ,-mg źą
U śąr śąr0źą=-śą0,0 ,-mg źą"śąą-r0źą=mg śą z-z0źą
r
ąźą-U ą ą
U śąr
ąźą=mgząU śąr0źą-mgz0 skalujemy energię potencjalną tak, że
ą
ą
const=c
z0=0,U śą z0źą=0 śąU śąr0=śą x0 , y0 , z0źąźąźą
U śąr śą zźą=mgz - energia
ą i otrzymujemy
ąźą=U
m z
potencjalna cząstki o masie na wysokości .
2
mV
Zasada zachowania energii mechanicznej: mgzą =const
2


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
W05 Fizyka Haran
W03 Fizyka Haran
W01 Fizyka Haran
W08 Fizyka Haran
W06 Fizyka Haran
W04 Fizyka Haran
W09 Fizyka Haran
W02 Fizyka Haran
pawlikowski, fizyka, szczególna teoria względności
Heller Czy fizyka jest nauką humanistyczną
Program wykładu Fizyka II 14 15
CKE 07 Oryginalny arkusz maturalny PR Fizyka
fizyka P5
fizyka 2
W07 W08 SCR

więcej podobnych podstron