UNIWERSYTET KARDYNAAA STEFANA WYSZYCSKIEGO
W WARSZAWIE
WYDZIAA MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZY
SZKOAA NAUK ÅšCISAYCH
Radosław Wawer
97660
Matematyka
Prosta Michaela
Praca licencjacka
Promotor:
dr Lidia Anna Waśko
WARSZAWA 2015
Załącznik do Zarządzenia Nr 78/2014 Rektora UKSW
z dnia 14 listopada 2014 r.
Załącznik nr 3 do Zarządzenia Nr 39/2007 Rektora UKSW
z dnia 9 listopada 2007r.
Radosław Wawer
97660
Wydział Matematyczno - Przyrodniczy
Szkoła Nauk Ścisłych
Matematyka
Dziekan Wydziału
dr hab. Marian Turzański, prof. UKSW
OÅšWIADCZENIE
Świadomy odpowiedzialności prawnej oświadczam, że niniejsza praca dyplomowa została
napisana przeze mnie samodzielnie i nie zawiera treści uzyskanych w sposób niezgodny z obo-
wiÄ…zujÄ…cymi przepisami.
Oświadczam również, że przedstawiona praca nie była wcześniej przedmiotem
procedur związanych z uzyskaniem tytułu zawodowego w żadnej uczelni.
Oświadczam ponadto, że niniejsza wersja pracy jest identyczna z załączoną wersją
elektronicznÄ….
Oświadczam, że poinformowano mnie o zasadach dotyczących kontroli samodzielności prac
dyplomowych i zaliczeniowych. W związku z powyższym oświadczam, że wyrażam zgodę na prze-
twarzanie* moich prac pisemnych (w tym prac zaliczeniowych i pracy dyplomowej) powstałych
w toku studiów i związanych z realizacją programu
kształcenia w Uczelni, a także na przechowywanie pracy dyplomowej w celach realizowanej
procedury antyplagiatowej w ogólnopolskim repozytorium pisemnych prac dyplomowych.
.......................................................
*Przez przetwarzanie pracy rozumie się porównywanie przez system antyplagiatowy jej treści z in-
nymi dokumentami (w celu ustalenia istnienia nieuprawnionych zapożyczeń) oraz generowanie raportu
podobieństwa.
OÅšWIADCZENIE
Oświadczam, że niniejsza praca napisana przez Pana Radosława Wawera, nr albumu 97660,
została przygotowana pod moim kierunkiem i stwierdzam, że spełnia ona warunki do przedsta-
wienia jej w postepowaniu o nadanie tytułu zawodowego.
.......................................................
Spis treści
Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
ż1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
ż2. Definicja prostej Michaela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
ż3. Własności prostej Michaela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
ż4. Zakończenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3
Wstęp
Prosta Michaela, przestrzeń topologiczna autorstwa amerykańskiego matematyka Er-
nesta Michaela, zalicza siÄ™ do najbardziej znanych przestrzeni parazwartych. Stanowi po-
pularny kontrprzykład do licznych hipotez w topologii ogólnej, dotyczących produktów
kartezjańskich przestrzeni.
W niniejszej pracy opisana zostanie konstrukcja oraz najważniejsze własności prostej
Michaela.
W rozdziale pierwszym podamy wszelkie potrzebne pojęcia, definicje oraz znane twier-
dzenia, z których skorzystamy w dalszej części pracy. W rozdziale drugim prosta Michaela
zostanie dokładnie zdefiniowana i wykażemy, że istotnie jest ona przestrzenią topologiczną.
Rozdział trzeci w całości poświęcony jest własnościom prostej Michaela wraz z dowoda-
mi.
Celem pracy jest przybliżenie prostej Michaela jako parazwartej przestrzeni topolo-
gicznej oraz wyjaśnienie jej najważniejszych cech wraz ze sposobem ich dowodzenia.
4
ż1. Wprowadzenie
Na początek wyjaśnimy znaczenie symboli, które pojawią się w pracy. Litery N, R,
Q i P będą oznaczać odpowiednio: zbiór liczb naturalnych, rzeczywistych, wymiernych
oraz niewymiernych. Symbolem Te będziemy oznaczać topologię euklidesową, a symbo-
lem T (B) - topologiÄ™ generowanÄ… przez bazÄ™ B.
Poniżej przytoczymy definicje i twierdzenia, do których będziemy się odwoływać w
dalszej części pracy.
Aby zdefiniować przestrzeń topologiczną, zwaną prostą Michaela, na początek przypo-
mnimy, czym jest przestrzeń topologiczna oraz jej baza, a także sformułujemy twierdzenie,
które pozwoli nam na wprowadzenie topologii za pomocą bazy.
Definicja 1.1.
Niech X będzie dowolnym zbiorem oraz T rodziną jego podzbiorów spełniającą na-
stępujące warunki:
(1) " " T , X " T , tzn. zbiór pusty oraz zbiór X są elementami rodziny T .
n
(2) "U ,U2,...,Un"T Ui " T - przecięcie skończonej mnogości zbiorów z rodziny T również
1
i=1
należy do T .
(3) "U‚"T U " T - suma dowolnej mnogoÅ›ci zbiorów z rodziny T również należy do T .
ParÄ™ (X, T ) nazywamy przestrzeniÄ… topologicznÄ…. Elementy rodziny T nazywamy
zbiorami otwartymi w przestrzeni (X, T ).
Definicja 1.2.
Otoczeniem punktu x w przestrzeni topologicznej (X, T ) nazywamy taki zbiór otwarty
U, że x " U.
Definicja 1.3.
Rodzina B podzbiorów otwartych przestrzeni topologicznej (X, T ) nazywa się bazą
tej przestrzeni, jeÅ›li każdy zbiór otwarty G ‚" X jest sumÄ… pewnej mnogoÅ›ci zbiorów
należących do B.
5
Twierdzenie 1.1.
Niech rodzina B podzbiorów X spełnia następujące warunki:
(B1) Dla wszelkich U1, U2 " B i punktu x " U1 )" U2 istnieje U " B takie,
że x " U ‚" U1 )" U2.
(B2) Dla każdego x " X istnieje U " B takie, że x " U.
Wówczas rodzina T zbiorów zdefiniowanych w ten sposób, że zbiór U należy do T
wtedy i tylko wtedy, gdy jest sumą pewnej mnogości zbiorów z rodziny B, spełnia warunki
(1) - (3) definicji topologii. Ponadto B jest bazÄ… przestrzeni topologicznej (X, T ).
Poniżej przypomnimy zestaw pojęć, które pojawią się w definicjach lub twierdzeniach
w dalszej części pracy.
Definicja 1.4.
Pokryciem przestrzeni X nazywamy rodzinę jej podzbiorów A taką, że X = A.
Definicja 1.5.
Niech A = (As)s"S i B = (Bt)t"T będą pokryciami przestrzeni X. Mówimy, że pokrycie
B jest wpisane w pokrycie A, jeśli:
"t"T "s"S Bt ‚" As.
Definicja 1.6.
Pokrycie B = (Bs)s"S nazywamy podpokryciem pokrycia A = (As)s"S, jeśli:
S ‚" S oraz dla każdego s " S zachodzi równość Bs = As.
Definicja 1.7.
Rodzinę A = (As)s"S podzbiorów przestrzeni X nazywamy lokalnie skończoną, gdy
dla każdego punktu z przestrzeni istnieje takie jego otoczenie, które przecina co najwy-
żej skończoną liczbę zbiorów z rodziny A. Jeżeli każdy punkt przestrzeni ma otoczenie
przecinające co najwyżej jeden element z A, to rodzinę tę nazywamy dyskretną.
Definicja 1.8.
RodzinÄ™ zbiorów nazywamy Ã-dyskretnÄ…, jeÅ›li jest przeliczalnÄ… sumÄ… rodzin dyskret-
nych.
Definicja 1.9.
Podzbiór przestrzeni topologicznej nazywamy zbiorem typu G´, gdy jest on przekrojem
przeliczalnej rodziny zbiorów otwartych.
Podzbiór przestrzeni topologicznej nazywamy zbiorem typu FÃ, gdy jest on sumÄ…
6
przeliczalnej rodziny zbiorów domkniętych.
Kolejne definicje będą dotyczyły wybranych własności przestrzeni topologicznych.
Definicja 1.10.
Przestrzeń topologiczną nazywamy przestrzenią Hausdorffa (lub inaczej T2 - przestrze-
nią), jeżeli dla dowolnych dwóch różnych jej punktów x, y istnieją ich rozłączne otoczenia
U, V , tzn. zbiory otwarte U, V takie, że x " U, y " V oraz U )" V = ".
Definicja 1.11.
Rodzinę C otoczeń punktu x nazywamy bazą otoczeń w x, jeżeli dla każdego zbioru
U " T zawierajÄ…cego x istnieje zbiór V " C taki, że x " V ‚" U.
Definicja 1.12.
Przestrzeń topologiczna spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności, gdy w każdym
punkcie ma przeliczalną bazę otoczeń.
Definicja 1.13.
Przestrzeń topologiczną X nazywamy parazwartą, jeśli X jest przestrzenią Hausdorffa
i w każde pokrycie otwarte przestrzeni X można wpisać pokrycie otwarte lokalnie skoń-
czone.
W dowodzie parazwartości prostej Michaela wykorzystamy twierdzenie Stone a, przy-
toczone poniżej.
Twierdzenie 1.2 (Stone a).
W każde pokrycie otwarte przestrzeni metryzowalnej można wpisać pokrycie otwarte
jednoczeÅ›nie lokalnie skoÅ„czone i Ã-dyskretne.
Definicja 1.14.
Ciężarem przestrzeni topologicznej X nazywamy najmniejszą liczbę kardynalną w(X)
o tej własności, że istnieje baza przestrzeni X mocy w(X). Dokładniej
w(X) = min{|B| : B - baza przestrzeni X}
Definicja 1.15.
Zbiór A w przestrzeni topologicznej (X, T ) nazywamy gęstym, jeżeli clA = X.
7
Definicja 1.16.
Przestrzenią ośrodkową nazywamy taką przestrzeń topologiczną, która zawiera przeli-
czalny podzbiór gęsty.
Definicja 1.17.
Przestrzeń topologiczną X nazywamy przestrzenią regularną, jeżeli każdy punkt x " X
i każdy zbiór domkniÄ™ty F ‚" X, który nie zawiera x, dajÄ… siÄ™ oddzielić przez zbiory
otwarte rozÅ‚Ä…czne; tzn. jeÅ›li istniejÄ… takie dwa zbiory otwarte G1 i G2, że x " G1, F ‚" G2
oraz G1 )" G2 = ".
Definicja 1.18.
PrzestrzeniÄ… Lindelöfa nazywamy regularnÄ… przestrzeÅ„ topologicznÄ… (X, T ) o takiej
własności, że z dowolnego jej pokrycia otwartego można wybrać podpokrycie przeliczalne.
8
ż2. Definicja prostej Michaela
TopologiÄ™ prostej Michaela wprowadzimy za pomocÄ… bazy. Zanim to jednak uczynimy,
musimy sprawdzić, że dana rodzina zbiorów spełnia aksjomaty bazy.
Twierdzenie 2.1.
Rodzina B = {(a, b) : a < b '" a, b " R} *" {{x} : x " P} podzbiorów prostej R spełnia
warunki (B1) i (B2) sformułowane w założeniu Twierdzenia 1.1.
Dowód.
(B1) Rozważmy trzy przypadki. W pierwszym niech U1 = (a1, b1) oraz U2 = (a2, b2)
będą przedziałami otwartymi na prostej R. Zbiór U = U1 )" U2 jest wtedy przedziałem
otwartym o końcach max{a1, a2}, min{b1, b2} lub zbiorem pustym. Jako przedział otwar-
ty U " B. W drugim przypadku niech U1 będzie przedziałem otwartym, a U2 zbiorem
jednoelementowym {a}, gdzie a " P. Jeżeli a " U1, to zbiór U = U1 )" U2 = {a} " B,
w przeciwnym wypadku U jest zbiorem pustym. W ostatnim przypadku U1 oraz U2 sÄ…
zbiorami jednoelementowymi zawierającymi liczbę niewymierną. Wówczas U jest zbiorem
pustym lub U1 )" U2 = U1 = U2 " B.
(B2) Dla każdego x " Q możemy wybrać U = (x - 1, x + 1), natomiast dla każdego
y " P możemy wybrać U = {y}.
Powyższe twierdzenie jest prawdziwe, zatem na mocy Twierdzenia 1.1. rodzina B ge-
neruje pewną przestrzeń topologiczną. Prowadzi nas to do następującej definicji:
Definicja 2.1.
ProstÄ… R z topologiÄ… wprowadzonÄ… przez bazÄ™
B = {(a, b) : a < b '" a, b " R} *" {{x} : x " P}
nazywamy prostą Michaela. Będziemy ją oznaczać literą M.
Zauważmy, że standardowa baza przestrzeni euklidesowej, czyli
A = {(p, q) : p < q '" p, q " Q}, jest podzbiorem bazy B. Zatem, zgodnie z definicjÄ…,
topologia euklidesowa jest słabsza od topologii T (B). Oznacza to, że każdy zbiór, który
jest otwarty w topologii euklidesowej, jest również otwarty w M.
Teraz, kiedy prosta Michaela została przez nas dokładniej scharakteryzowana, możemy
przejść do jej bardziej złożonych własności.
9
ż3. Własności prostej Michaela
Po zdefiniowaniu naszej przestrzeni topologicznej możemy przystąpić do rozważenia
niektórych spośród jej właściwości. Wykażemy, że jest przestrzenią Hausdorffa i spełnia
pierwszy aksjomat przeliczalności. Następnie udowodnimy jej parazwartość.
Twierdzenie 3.1.
Prosta Michaela jest przestrzeniÄ… Hausdorffa.
Dowód.
Niech x, y " M i x = y. Rozważmy trzy przypadki.
Niech x, y " P. Wówczas ich rozłącznymi otoczeniami są {x} i {y}.
|y-x| |y-x|
Jeżeli x, y " Q, to możemy wybrać U = (x - , x + ),
3 3
|y-x| |y-x|
V = (y - , y + ). Wtedy x " U, y " V i U, V są rozłączne.
3 3
Jeżeli natomiast x " Q, y " P, to ich rozłącznymi otoczeniami będą odpowiednio
|y-x| |y-x|
(x - , x + ) oraz {y}. Zatem M jest przestrzeniÄ… Hausdorffa.
3 3
Twierdzenie 3.2.
Prosta Michaela spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności.
Dowód.
Każdemu punktowi x " Q możemy przypisać taką samą, przeliczalną bazę otoczeń,
1 1
jak w przestrzeni euklidesowej, czyli na przykład Cx = {(x - , x + )}n"N. Każdemu
n n
punktowi y " P możemy przypisać jednoelementową bazę otoczeń Cy = {{y}}.
Stąd dla każdego punktu przestrzeni istnieje przeliczalna baza otoczeń, więc M spełnia
pierwszy aksjomat przeliczalności.
Twierdzenie 3.3.
Prosta Michaela jest parazwarta.
Dowód.
Udowodniliśmy powyżej (Twierdzenie 3.1.), że M jest przestrzenią Hausdorffa, zatem
pozostaje nam wykazać, iż w każde otwarte pokrycie przestrzeni M można wpisać pokry-
cie otwarte lokalnie skończone.
Niech U będzie otwartym pokryciem M. Naszym celem jest znalezienie lokalnie skoń-
czonego otwartego pokrycia V, wpisanego w U. Wiemy, że U składa się ze zbiorów otwar-
tych. Niech UT = U )" Te oraz niech Y = UT . Zauważmy, że Y jest otwartą podprze-
strzeniÄ… prostej rzeczywistej z metrykÄ… euklidesowÄ…. Dodatkowo, Q jest podzbiorem Y .
Korzystając z twierdzenia Stone a, otrzymujemy, że w pokrycie UT przestrzeni Y z
10
topologią euklidesową można wpisać pokrycie lokalnie skończone, otwarte w topologii
euklidesowej. Oznaczmy je VT . VT jest lokalnie skończonym pokryciem przestrzeni Y ,
takim, że VT ‚" Te.
Dodajmy do VT wszystkie jednoelementowe zbiory {x}, gdzie x " M \ Y . Powstałą
sumę zbiorów oznaczmy V. Oczywiście rodzina V jest otwartym pokryciem przestrzeni M
wpisanym w U.
Pokażemy, że rodzina V jest lokalnie skończona. Dla każdego punktu x " M\Y możemy
wybrać otoczenie {x} (które nie przecina żadnego innego zbioru z V). Dla każdego punktu
y " Y istnieje otoczenie W " Te, takie, że y " W ‚" Y (wynika to z otwartoÅ›ci Y w
topologii euklidesowej). Jednocześnie pokrycie VT przestrzeni Y jest lokalnie skończone
w topologii euklidesowej. Zatem istnieje otoczenie U " Te punktu y przecinajÄ…ce tylko
skoÅ„czenie wiele elementów rodziny VT . Ponieważ Te ‚" T , wiÄ™c zbiory U i W sÄ… zbiorami
otwartymi w topologii prostej Michaela. Zbiór V = U )" W jest otoczeniem punktu y
przecinającym skończenie wiele elementów pokrycia V, gdyż przecina skończenie wiele
elementów rodziny VT i żadnego elementu rodziny V \ VT .
Mimo, iż prosta Michaela jest przestrzenią parazwartą spełniającą pierwszy aksjomat
przeliczalności, nie jest ona metryzowalna.
Twierdzenie 3.4.
Prosta Michaela nie jest metryzowalna.
Dowód.
Skorzystamy z dwóch następujących faktów:
1) Zbiór liczb wymiernych nie jest zbiorem typu G´ na prostej R z topologiÄ… euklidesowÄ….
Jest to wniosek z Twierdzenia Baire a.
2) W przestrzeniach metrycznych każdy zbiór domknięty jest zbiorem
typu G´.
Najpierw pokażemy, że zbiór liczb wymiernych nie jest zbiorem typu G´ także na
prostej z topologiÄ… prostej Michaela.
Przypuśćmy, że zbiór liczb wymiernych jest zbiorem typu G´ na prostej Michaela.
Zbiór Q możemy zatem przedstawić jako przekrój przeliczalnej rodziny zbiorów otwartych
"
z topologii prostej Michaela, tzn. Q = Un, gdzie dla każdego n mamy Un " T (B).
n=1
Skorzystamy teraz z definicji bazy prostej Michaela. Każdy zbiór Un możemy przedstawić
jako sumę pewnej mnogości przedziałów otwartych na prostej R z topologią euklidesową
(oznaczmy sumę tych przedziałów Vn) oraz pewnej mnogości jednoelementowych
zbiorów {x}, gdzie x " P (oznaczmy sumę tych zbiorów An). Dokładniej niech
Vn = {(a, b) : (a, b) ‚" Un}, An = Un \ Vn. Wówczas An ‚" P. StÄ…d nie istnieje taki punkt
" "
x0, który należaÅ‚by do każdego zbioru An, gdyż An ‚" Un, a zatem x0 należaÅ‚by
n=1 n=1
11
"
również do przecięcia zbiorów Un. Jest to niemożliwe, ponieważ Un = Q,
n=1
a jednocześnie x0 " P.
Zatem, skoro taki {x0} nie istnieje, możemy zauważyć, że
" "
Vn = Un = Q. Jednakże zbiory Vn, będące sumami przedziałów otwartych na
n=1 n=1
prostej R z topologią euklidesową, są również elementami tej topologii ("n Vn " Te). Stąd
zbiór liczb wymiernych jest zbiorem typu G´ na prostej R z topologiÄ… euklidesowÄ…, co
prowadzi do sprzeczności z faktem 1).
Zatem zbiór liczb wymiernych nie jest zbiorem typu G´ na prostej Michaela.
Możemy więc skorzystać wprost z faktu 2). Zbiór Q jest domknięty w M, lecz nie jest
typu G´. StÄ…d M nie może być przestrzeniÄ… metrycznÄ….
Poniżej zajmiemy się dalszymi własnościami prostej Michaela. Rozważymy ciężar i
oÅ›rodkowość tej przestrzeni, a na koniec pokażemy, iż nie jest ona przestrzeniÄ… Lindelöfa.
Twierdzenie 3.5.
Ciężar prostej Michaela wynosi continuum.
Dowód.
Dla rozpatrywanej wcześniej bazy
B = {(a, b) : a < b '" a, b " R} *" {{x} : x " P} otrzymujemy |B| = c, zatem ciężar prze-
strzeni M jest nie większy niż c. Pozostaje nam sprawdzić, czy istnieje baza przestrzeni
M o mocy mniejszej niż c.
Zauważmy, że w każdej bazie prostej Michaela muszą znalezć się wszystkie zbiory
postaci {x}, gdzie x " P, dlatego, że są one zbiorami otwartymi i jednocześnie są jedno-
elementowe, zatem nie da się ich przedstawić jako sumy innych zbiorów otwartych. Z tego
wynika, że moc każdej bazy będzie nie mniejsza niż moc zbioru P, więc ciężar w(M) = c.
W kolejnych twierdzeniach udowodnimy dalsze własności prostej Michaela.
Twierdzenie 3.6.
Prosta Michaela nie jest ośrodkowa.
Dowód.
Niech A będzie dowolnym przeliczalnym zbiorem. Wybierzmy liczbę x " P, taką,
że x " A. Taka liczba x istnieje, gdyż w przeciwnym wypadku mamy P ‚" A, zatem A
/
byłby nieprzeliczalny.
Punkt x nie należy do domknięcia zbioru A, ponieważ jego najmniejsze otoczenie to
jednoelementowy zbiór {x}, mający puste przecięcie z A. Stąd A nie jest zbiorem gęstym.
Z dowolności wyboru zbioru A wynika, że nie istnieje przeliczalny i gęsty podzbiór prze-
12
strzeni M.
W dowodzie kolejnego twierdzenia skorzystamy z faktu, że przestrzeń liczb niewymier-
nych zawiera podprzestrzeń homeomorficzną ze zbiorem Cantora.
Twierdzenie 3.7.
Prosta Michaela nie jest przestrzeniÄ… Lindelöfa.
Dowód.
Wystarczy wykazać, że istnieje takie pokrycie otwarte prostej M, z którego nie da się
wybrać podpokrycia przeliczalnego.
Literą C oznaczmy podprzestrzeń przestrzeni liczb niewymiernych homeomorficzną
ze zbiorem Cantora (C ‚" P). C jest podprzestrzeniÄ… zwartÄ…, wiÄ™c również domkniÄ™tÄ… w
przestrzeni liczb niewymiernych oraz na prostej rzeczywistej z metrykÄ… euklidesowÄ…. StÄ…d
jej dopełnienie U = M \ C jest zbiorem otwartym w topologii euklidesowej. Każdy zbiór
otwarty w topologii euklidesowej jest również otwarty w topologii prostej Michaela. U jest
zatem otwarty w przestrzeni M.
Rodzina {U} *" {{x} : x " C} jest otwartym pokryciem prostej Michaela, ponieważ
jednoelementowe zbiory postaci {x}x"P są zbiorami otwartymi. Zbiór C, homeomorficzny
w topologii euklidesowej ze zbiorem Cantora, jest nieprzeliczalny. Zbiór U jest dopełnie-
niem C, więc oczywiście U )" C = ". Zatem w każdym podpokryciu V, które wybieramy
z pokrycia {U} *" {{x} : x " C}, muszą znalezć się zbiory postaci {{x} : x " C}, których
jest nieprzeliczalnie wiele.
13
ż4. Zakończenie
Celem niniejszej pracy było przybliżenie czytelnikowi przestrzeni topologicznej zwanej
prostą Michaela. W kolejnych rozdziałach zapoznaliśmy się z jej definicją oraz własnościa-
mi. Bardziej zaawansowane spośród nich były sformułowane jako twierdzenia i szczegółowo
udowodnione.
Z prostą Michaela warto się zapoznać, ponieważ jest uznanym kontrprzykładem wielu
hipotez z topologii, dotyczących zwłaszcza produktów kartezjańskich przestrzeni.
14
Literatura
[1] Kazimierz Kuratowski, Wstęp do teorii mnogości i topologii, Państwowe Wydawnic-
two Naukowe, Warszawa 1980
[2] Ryszard Engelking, Topologia ogólna, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa
1976
[3] Klaus Jänich, Topologia, PaÅ„stwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1991
[4] Hanna Patkowska, Wstęp do topologii, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warsza-
wa 1979
15
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
euroregiony praca licencjackaPraca licencjacka WZÓRKaja Chmura praca licencjacka v8 FINAL1praca licencjacka UMCSpraca licencjacka Internet jako narzędzie marketinguPraca licencjacka M Hajnecala praca licencjacka Kosmetologiczne i medyczne aspekty starzenia się skóry 50 strPraca licencjackaPraca licencjackaRehabiltacja osób z SM PRACA LICENCJACKA D J PowierskaPRACA licencjat zaocznyPraca licencjackapraca licencjacka dochody gminyPraca licencjackawięcej podobnych podstron