Egzamin z Algebry, 7 II 2008 godz. 9.00
1. Rozwiązać równanie (z - i)4 = (z + i)4 , z " C
RozwiÄ…zanie:
Przekształcamy równanie:
(z - i)4 - (z + i)4 = 0
((z - i)2 - (z + i)2)((z - i)2 + (z + i)2) = 0
((z - i) - (z + i))((z - i) + (z + i))(z2 - 2iz - 1 + z2 + 2iz - 1) = 0
(-2i)(2z)(2z2 - 2) = 0
z(z - 1)(z + 1) = 0
Rozwiązania równania:
z1 = 0
z2 = 1
z3 = -1
2. Obliczyć wyznacznik macierzy X spełniającej równanie:
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 0 1 0 1 1 17 36
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚ 0 0 -3 · X · 2 -2 0 = 5 12 0 ûÅ‚
ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚
0 2 0 3 0 0 3 0 0
RozwiÄ…zanie:
Obliczmay wyznaczniki lewej i prawej strony. Korzystamy z tego, że wyznacznik iloczynu
macierzy jest równy iloczynowi wyznaczników:
6 · |X| · 6 = -3 · 12 · 36
StÄ…d
|X| = -36
3. Obliczyć pole trójkąta, którego wierzchołkami są następujące punkty:
- początek układu współrzędnych
- punkt P (1, 2, 3)
- punkt Q będący rzutem prostokątnym punktu P na płaszczyznę Ą ; x + y + z - 3 = 0
RozwiÄ…zanie:
-
Szukamy punktu Q(x, y, z). Punkt ten laży na płaszczyznie Ą, a wektor P Q jest
prostopadły do płaszczyzny.
-
P Q = [x - 1, y - 2, z - 3]
= [1, 1, 1] - wektor prostopadły do płaszczyzny Ą
n
- -
P Q = k (ponieważ wektor P Q jest równoległy do
n n)
Å„Å‚
ôÅ‚ - 1 = k
x
òÅ‚
y - 2 = k
ôÅ‚
ół
z - 3 = k
StÄ…d: x = k + 1 ; y = k + 2 ; z = k + 3
Wstawiamy do równania płaszczyzny współrzędne punktu Q:
k + 1 + k + 2 + k + 3 - 3 = 0
Stąd k = -1, więc punkt Q ma współrzędne
Q(0, 1, 2)
Obliczmy pole trójkąta OP Q . Współrzędne punktu O(0, 0, 0). Pole to jest równe:
- -
1
S = |OP × OQ|
2
- -
OP = [1, 2, 3] ; OQ = [0, 1, 2]
i j k
"
1 1 1
S = | 1 2 3 | = |[1, -2, 1]| = 6
2 2 2
0 1 2
4. Podać definicję rzędu macierzy.
Wyznaczyć rząd macierzy A w zalezności od parametru p " R
îÅ‚ Å‚Å‚
1 - p 2 1 p
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ 1 2 - p 1 0 ûÅ‚
1 2 1 - p p
RozwiÄ…zanie:
Macierz ma 3 wiersze i 4 kolumny więc jej rząd jest mniejszy lub równy 3.
Obliczmy wyznacznik macierzy powstałej przez skreślenie drugiej kolumny:
1 - p 1 p
1 1 0 = p - p2 + p - p2 - p - p = -p2
1 1 - p p
Badamy kiedy wyznacznik ten jest zerowy:
-p2 = 0
p = 0
Wniosek: Dla p = 0 rząd macierzy A jest równy 3.
Badamy rzÄ…d A dla p = 0
îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 1 0
ïÅ‚ śł
rzA = rz 1 2 1 0 = rz 1 2 1 0 = 1
ðÅ‚ ûÅ‚
1 2 1 0
Wykonane operacje:
1. skreślenie wierszy 2 i 3 proporcjonalnych do wiersza 1
2. rząd macierzy 1x4 macjecej niezerowy element jest równy 1
Odpowiedz:
Dla p = 0 rząd A jest równy 1, a dla pozostałych p rząd A jest równy 3.
5. Wyznaczyć równanie płaszczyzny stycznej do sfery jednostkowej (o środku w początku
układu współrzędnych i promieniu równym 1) równoległej do płaszczyzny
Ä„ : 6x + 3y + 2z - 6 = 0
RozwiÄ…zanie:
Równanie szukanej płaszczyzny stycznej równoległej do Ą:
6x + 3y + 2z + D = 0
Odległość środka sfery O(0, 0, 0) od tej płaszczyzny jest równa promieniowi sfery.
|0 + 0 + 0 + D|
"
= 1
62 + 32 + 22
|D| = 7
D1 = 7 , D2 = -7
Odpowiedz:
Są dwie płaszczyzny styczne do sfery równoległe do Ą:
Ä„1 : 6x + 3y + 2z + 7 = 0
Ä„2 : 6x + 3y + 2z - 7 = 0
6. Na paraboli y2 = 24x dany jest punkt odległy od ogniska o 14. Wyznaczyć odległość
tego punktu od wierzchołka paraboli.
RozwiÄ…zanie:
p
Ognisko paraboli jest w punkcie F (6, 0) (y2 = 2px , xF = )
2
Punkt P (x, y) leżący na paraboli i odległy od ogniska o 14 spełnia równania:
y2 = 24x
Rozwiązujemy ten układ
(x - 6)2 + y2 = 142
x2 - 12x + 36 + 24x = 196
x2 + 12x - 160 = 0
" = 144 + 4 · 160 = 4 · (196)
"
" = 2 · 14 = 28
x1 = 8 , x2 = -20 (ujemny pieriastek odrzucamy )
Z pierwszego rónania obliczamy y
y2 = 24 · 8 = 192
"
y = Ä… 192
"
Są więc dwa takie punkty P o współrzędnych P (8, ą 192)
Ich odlakłość od wierzchołka paraboli W (0, 0) jest taka sama i równa:
" "
d = 82 + 192 = 256 = 16
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
SIMR ALG1 EGZ 2014 02 07a rozw 1SIMR ALG1 EGZ 2012 02 10b rozwSIMR ALG1 EGZ 2013 02 05b rozwSIMR ALG1 EGZ 2012 02 03b rozwSIMR ALG1 EGZ 2007 02 08b rozwSIMR ALG1 EGZ 2013 02 05a rozw 1SIMR ALG1 EGZ 2012 02 10a rozwSIMR ALG1 EGZ 2012 02 03a rozwSIMR ALG1 EGZ 2014 02 07b rozw 1SIMR ALG1 EGZ 2013 02 11b rozwSIMR ALG1 EGZ 2013 02 11b rozwSIMR ALG1 EGZ 2013 02 11a rozw 1SIMR MAT1 EGZ 2006 02 08a rozwSIMR MAT1 EGZ 2006 02 01b rozwSIMR AN1 EGZ 2013 02 04b rozwSIMR AN1 EGZ 2013 02 12b rozwSIMR ALG1 EGZ 2007 01 30a rozwSIMR AN1 EGZ 2007 02 07b rozwSIMR AN1 EGZ 2013 02 12a rozwwięcej podobnych podstron