4 Stat niewyz wykład

KONSTRUKCJE PRTOWE
STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
Przypadki w których wielkości do wyznaczenia jest więcej od równań statyki przypadki
nazywane są statycznie niewyznaczalne.
W zależnościom liczby niewiadomych, dla których zabrakło równań statyki określa się rząd
statycznej niewyznaczalności. Dlatego wykorzystuje się:
1. Warunki równowagi;
2. warunki geometryczne;
3. Związki fizyczne.
ODKSZTAACENIA I NAPRŻENIA WYWOAANE ZMIAN
TEMPERATURY
Przyczyną odkształcenia ciała stałego może być oprócz działania sił również zmiana temperatury.
o
Przypuśćmy, że pręt z pewnego materiału ma w temperaturze 0 C długość l0. Przy wzroście tem-
peratury od tl do t2 długość jego zmienia się z l1 na l2. Wówczas średnim współczynnikiem roz-
szerzalności liniowej w granicach temperatur tl i t2 jest wielkość ą
1 l2 - l1
ą1,2 =
l0 t2 - t1 (1)
ą współczynnik rozszerzalności liniowej w temperaturze t
ą
ą
ą
1 "l 1 dl
ąt = lim =
(2)
l0 "t0 "t l0 dt
Współczynnik ten zależy przede wszystkim od rodzaju materiału (tabl. 1). Jak wykazują do-
świadczenia, dla metali technicznych można przyjąć bez większego błędu, że dla dość znacznego
zakresu temperatur ma on wartość stałą = ą)
(ąt
Tabela 1.
1 1
�ł łł �ł łł
ą �łK śł ą �łK śł
Materiał Materiał
�ł �ł �ł �ł
1
Aluminium 23*10-6 Stal niestopowa 12*10-6
Cynk 19*10-6 Żelazo 12*10-6
Magnez 16*10-6 Żeliwo 9*10-6
Miedz 17*10-6
Jeżeli znamy długość pręta l1 w temperaturze t1, to przyrost długości l2 - l1 po podgrzaniu do tem-
peratury t2 oblicza się zgodnie ze wzorem
l2 - l1 = ąl0 t2 - t1 (3)
( )
wyrażając l0 przez l1, otrzymamy
l1 - l0 = ąl0 t1 - 0 : l0 (4)
( )
stąd
l1
l0 =
(5)
ąt1 +1
ąl1
l2 - l1 = t2
( - t1 (6)
)
ąt1 +1
Jeżeli uwzględnimy, że współczynnik ą jest rzędu 10-6, to dla temperatur w najczęściej spotyka-
nym zakresie w zagadnieniach technicznych można przyjąć +1 H" 1. Wówczas
(ąt1
)
l2 - l1 = ąl1 t2 - t1 (7)
( )
Wydłużenie względne jest równe
l2 - l1
� =
l1
więc dzieląc obustronnie równanie (7) przez l1 otrzymamy
� = ą"t
(8)
Jeżeli oprócz wzrostu temperatury "t pojawi się naprężenie �, to wydłużenie względne wyrazi się
wzorem
�
� = + ą"t
(9)
E
a wydłużenie całkowite pręta o długości l
2
Nl
= + ą"tl
(10)
EA
Rys. 1. Wydłużenie pręta wywołane przyrostem temperatury
Przykład. Jeżeli pręt ma swobodę wydłużenia się (rys. 1a), to zmiana temperatury powodująca
odkształcenia nie będzie przyczyną pojawienia się naprężeń. Inaczej będzie w przypadku jak na
rys. 1b, gdzie oba końce pręta są mocowane w nieprzesuwnych podporach. Wskutek podgrzania
pręta w podporach A i B pojawią się reakcje RA i RB. Wyznaczymy ich wartości zgodnie z dotych-
czas poznanymi zasadami.
1) Warunki równowagi:
RA - RB = 0
2) Warunki geometryczne:
Odległość l między nieprzesuwnymi podporami nie ulega zmianie, skąd
� = 0 = 0
3) Warunki fizyczne:
Zgodnie z równaniem (10)
Nl
= + ą"tl
EA
Siły wewnętrzne
N = -RA = -RB
Z powyższych równań otrzymamy wartości RA i RB.
RA = RB = ą"tEA
więc
3
N = -ą"tEA
Wartość naprężenia � wywołanego zmianą temperatury otrzymamy z równania (9)
�t = -ą"tE
Naprężenia powstałe na skutek zmiany temperatury, nazywane są naprężeniami cieplnymi.
Przykład. Obliczyć wartość naprężenia � dla pręta stalowego przy wzroście temperatury o "t =
30 K, ą=12*10-6, E = 2,1*105 MPa
�t = -ą"tE
=-12 * 10-6 * 30 * 2.1 * 105 = -75.6 MPa
Przykład. Obliczyć całkowite wydłużenie pręta stalowego swobodnego przy wzroście temperatu-
ry o "t = 100 K, ą=12*10-6, l=1.0 m.
= ą"tl
=12 * 10-6 * 100 * 1.0 = 0.0012 m = 1.2 mm
4

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Sopot stat 11 wyklad 9 Analiza kowariancji i ogolny model liniowy
stat biot wyklady z mat
Skrecanie stat niewyznacz IMiR
ramy stat niewyznaczalne
Stat LWZ LZZ wyklad1
Stat wyklad2 11 na notatki
Stat wyklad3 11 na notatki
wyklad stat 2
10 mechanika budowli wykład 10 rozwiazywanie?lek wieloprzeslowych statycznie niewyzn
1 stat wyklad
stat wyklad1,2
Wykład 08 linie wpływu w układach statycznie niewyznaczalnych
STAT wyklad3
Podstawy stat wyklad(1)
wyklad stat 3
12 mechanika budowli wykład 12 luki statycznie niewyznaczalne

więcej podobnych podstron