7 Prawa wielkich liczb i twierdzenia graniczne 1 Podstawy teorii miary probabilistycznej
n
Słabe wielkich liczb. Niech Xn będzie ciągiem zmiennych losowych, mk = EXk, Sn = Xn. Jeżeli
1.1 Zbiory mierzalne  à ciaÅ‚o zbiorów
k=1
prawo
n
(Xk-mk)
k=1
ciąg zbiega według prawdopodobieństwa do 0 to mówimy, że Xn spełnia słabe prawo wielkich liczb
n Załóżmy, że mamy jakiś zbiór &!. Niech F będzie taką rodziną podzbiorów &!, że:
Sn-ESn
(SPWL). Warunek z definicji można równoważnie zapisać: " >0 limn" P (| | ) = 0.
n

" &! " F " A " F Ò! A " F " "i"IAi " F Ò! Ai " F
i"I
Tw. Czebyszewa Ciąg niezależnych zmiennych losowych Xn spełnia SPWL, gdy istnieją wartości oczekiwane E(Xi)
2
i wariancje Ãi zmiennych Xi istniejÄ… i sÄ… wspólnie ograniczone (tzn. "Ã2"nV ar(Sn) Ã2).
Wtedy rodzinÄ™ F nazywamy à ciaÅ‚em zbiorów.
Gdy dana jest pewna rodzina A podzbiorów zbioru &!, à ciaÅ‚em generowanym przez tÄ… rodzinÄ™, nazywamy naj-
2
Tw. Markowa CiÄ…g zmiennych losowych Xn speÅ‚nia SPWL, gdy istniejÄ… wartoÅ›ci oczekiwane E(Xi) i wariancje Ãi
mniejsze (w sensie zawierania) à ciaÅ‚o zawierajÄ…ce A i oznaczamy Ã(A). Można udowodnić, że Ã(A) jest przekrojem
zmiennych Xi oraz limn" V ar(Sn) = 0.
n2
wszystkich à ciaÅ‚ zawierajÄ…cych A. Gdy A ma n elementów i sÄ… one parami rozÅ‚Ä…czne, oraz speÅ‚niajÄ… warunek
n
Ai = &! to Ã(A) ma 2n elementów.
Wniosek Jeśli Xn ciąg niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie, dla którego istnieje wariancja,
i=1
to ciąg ten spełnia SPWL.
1.2 Zbiory borelowskie
Tw. Chinczyna Ciąg niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach i wspólnej wartości oczekiwanej
speÅ‚nia SPWL. Niech &! = R. Wówczas à ciaÅ‚o generowane przez wszystkie zbiory otwarte zawarte w R oznaczmy przez B(R) i
nazywamy rodziną zbiorów borelowskich. Rodzina ta zawiera w szczególności wszystkie przedziały (a, b).
Funkcję f : R R nazywamy funkcją borelowską, gdy przeciwobrazy zbiorów postaci (-", a) są borelowskie.
Mocne prawo wielkich liczb. Xn jest ciągiem zmiennych losowych, mk = EXk. Ciąg Xn spełnia mocne prawo
n
(Xk-mk) W szczególności wszystkie funkcje ciągłe, są borelowskie (ale nie wszystkie funkcje borelowskie są ciągłe).
k=1
wielkich liczb (MPWL), gdy ciąg zbiega do 0 z prawdopodobieństwem jeden.
n
Uwaga. Jeśli ciąg spełnia MPWL to spełnia też SPWL.
1.3 Miara probabilistyczna
"
V ar(Xn)
n=1
Tw. Kołomogorowa Jeśli Xn są niezależne, V ar(Xn) istnieją oraz szereg jest zbieżny, to (Xn)n
n2 Niech dany bÄ™dzie pewien zbiór &! i à ciaÅ‚o F. FunkcjÄ™ P : F R+, speÅ‚niajÄ…cÄ…:
spełnia MPWL.

" P (") = 0, " P ( Ai) = P (Ai) dla parami rozłącznych
i"I i"I
Wniosek JeÅ›li (Xn)n jest ciÄ…giem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkÅ‚adzie i "nV ar(Xn) = Ã2 <
zbiorów Ai.
+", to Xn spełnia MPWL.
Wniosek Jeśli Xn spełnia założenia tw. Czybyszewa to spełnia MPWL. nazywamy miarą. Jeśli dodatkowo spełniony jest warunek: P (X) = 1 to P nazywamy miarą probabilistyczną
lub prawdopodobieństwem.
Trójkę (&!, F, P ) nazywamy przestrzenią probabilistyczną.
Centralne twierdzenie graniczne Lindeberga-Levy ego. Jeżeli {Xn} jest losowym ciągiem niezależnych zmien-
nych o jednakowym rozkładzie, o wartości przeciętnej ą1
i skoÅ„czonej wariancji Ã2 > 0, to ciÄ…g (Fn) dystrybuant
n
n Xi-nÄ…1
Xn-Ä…1 i=1
"
standaryzowanych średnich arytmetycznych Xn (standaryzowanych sum Xi) Yn = = jest
Ã
2 Rozkład prawdopodobieństwa
i=1 "
à n
n

1
y
"1 t2
zbieżny do dystrybuanty Ś rozkładu N(0, 1): limn" Fn(y) = e- 2
dt a" Åš(y)
2Ä„ -"
2.1 Rozkład dyskretny
Niech (X, F, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną. Mówimy, że rozkład prawdopodobieństwa P jest dyskretny, jeśli
istnieje co najwyżej przeliczalny zbiór A " F taki, że P (A) = 1.
2.2 Dystrybuanta rozkładu prawdopodobieństwa
Rozpatrzmy przestrzeń probabilistyczną (R, B(R), P ). Funkcję F : R R, daną wzorem: F (t) = P ((-", t)) nazywa-
my dystrybuantą rozkładu P . Dystrybuanta posiada następujące własności:
" "t"R0 F (t) 1, " F (-") = limt-" F (t) = 0,
" F jest lewostronnie ciągła,
" F jest niemalejÄ…ca, " F (+") = limt+" F (t) = 1.
Punkty nieciągłości (punkty skokowe) F są tzw. nośnikami prawdopodobieństwa  tzn. prawdopodobieństwo
każdego takiego punktu jest niezerowe. Jeśli rozkład prawdopodobieństwa jest dyskretny, to dystrybuanta jest ponadto
stała między punktami skokowymi.
2.3 Rozkład ciągły
Mówimy, że probabilistyczna P określona na (R, B(R)) jest typu ciągłego, gdy istnieje funkcja f : R R, taka,
miara
że P (A) = f(x)dx dla dowolnego A " B(R). Funkcję f nazywamy gęstością miary P .
A
8 1
Własności gęstości miary probabilistycznej " f(x) 0 prawie wszędzie (czyli zbiór punktów w 5.3 Rozkład brzegowy

których to nie jest prawda, ma miarę równą 0).
" f(x)dx = 1,
Niech X : &! R2 wektor losowy o dystrybuancie F . Wówczas funkcje FX(x) = limy" F (x, y) oraz FY (y) =
R
limx" F (x, y) są dystrybuantami rozkładów na R. Rozkłady te nazywamy brzegowymi.

Każda funkcja f : R R która spełnia te własności jest gęstością pewnego rozkładu prawdopodobieństwa.
Jeśli dodatkowo wektor losowy posiada gęstość f, to funkcje fX(x) = f(x, y)dy oraz fY (y) = f(x, y)dx są
R R
Niech f będzie gęstością, a F dystrybuantą. Wtedy zachodzi:
gęstościami rozkładów brzegowych na R.

x
F (x) = P ((-", x)) = f(t)dt
5.4 Parametry liczbowe
-"
Wartość oczekiwana Jeśli X = (X1, X2, . . . , Xn) jest wektorem losowym, to wektor liczb (EX1, EX2, . . . , EXn)
Dystrybuanta rozkładu typu ciągłego jest funkcją ciągłą. W punktach ciągłości f istnieje pochodna dystrybuanty i
nazywamy wartością średnią (oczekiwaną) wektora X. Jest ona określona jeśli wszystkie wartości oczekiwane EXi

zachodzi: f(x) = F (x).
istniejÄ….

Uwaga. Nie każda ciągła dystrybuanta jest dystrybuantą rozkładu typu ciągłego. Istnieją rozkłady które nie są
JeÅ›li Õ: Rn R funkcja borelowska, oraz X wektor losowy typu ciÄ…gÅ‚ego, to EÕ(X) = Õ(x)f(x)dx.
Rn
ani ciągłe ani dyskretne.
5.5 Przykłady
3 Zmienna losowa
Gęstości sumy, iloczynu, ilorazu zmiennych losowych:

ZmiennÄ… losowÄ… nazywamy dowolnÄ… funkcjÄ™ X : &! R takÄ…, że "x"R{É : X(É) < x} " F. W przypadku gdy
1. U = X + Y : k1(u) = f(x, u - x)dx; gdy X, Y -niezależne: k1(u) = f1(x)f2(u - x)dx
R R
F = 2&!, dowolna funkcja X : &! R jest zmiennÄ… losowÄ….

u 1 u 1
2. U = XY : k1(u) = f(x, ) dx; gdy X, Y -niezależne: k1(u) = f1(x)f2( )|x| dx
3.1 Definicje podstawowe
R x |x| R x
Niech dana będzie przestrzeń probabilistyczna (&!, F, P ), oraz pewna zmienna losowa X. Wówczas funkcja PX(A) =

X
3. U = : k1(u) = f(uy, y)|y|dy; gdy X, Y -niezależne: k1(u) = f1(uy)f2(y)|y|dy
P (X-1(A)) jest miarÄ… probabilistycznÄ…, oraz (R, B(R), PX) jest przestrzeniÄ… probabilistycznÄ…. MiarÄ™ PX nazywamy
Y R R
prawdopodobieństwem generowanym przez zmienną losową X.
Mając miarę PX odpowiadającą pewnej zmiennej losowej X możemy więc zdefiniować pojęcie dystrybuanty
zmiennej losowej. DystrybuantÄ… zmiennej losowej X nazywamy funkcjÄ™ FX : R R danÄ… wzorem1:
Dwuwymiarowy rozkład normalny ma gęstość daną wzorem:

FX(t) = PX((-", t)) = P (X-1(-", t)) = P (X < t). 1 1 (x - µ1)2 (x - µ1)(y - µ2) (y - µ2)2
f(x, y) = exp - - 2Á + dla (x, y) " R2
2 2
2Ä„Ã1Ã2 1 - Á2 2(1 - Á2) Ã1 Ã1Ã2 Ã2
3.2 Dyskretna zmienna losowa
" "
gdzie: µ1 = EX, µ2 = EY , Ã1 = D2X > 0, Ã2 = D2Y > 0, Á współczynnik korelacji zm.los. X i Y , przy czym
Zmienną losową X nazywamy zmienną typu dyskretnego, gdy istnieje co najwyżej przeliczalny zbiór B " B(R),
|Á| < 1.
taki, że PX(B) = 1.
6 Zbieżność ciągów zmiennych losowych
3.3 Ciągła zmienna losowa
ZmiennÄ… losowÄ… X zmiennÄ… typu ciÄ…gÅ‚ego, gdy istnieje gÄ™stość rozkÅ‚adu prawdopodobieÅ„stwa PX. 1. Zbieżność z prawdopodobieÅ„stwem 1 (prawie na pewno, prawie wszÄ™dzie): P ({É : limninf Xn(É) X(É)}) = 1.
z pr. 1
Oznaczenie: Xn - X.
---
(p.n.)
3.4 Funkcja zmiennej losowej
wg pr.
2. Zbieżność wedÅ‚ug prawdopodobieÅ„stwa: " >0 limn" P ({É : |Xn(É) - X(É)| }) = 0. Oznaczenie: Xn -
---
Jeśli X jest zmienną losową, a g funkcją borelowską, to złożenie Y = g ć% X jest również zmienną losową. Ponadto
(P )
zachodzi:
X.
PY (B) = Pgć%X(B) = P ({É : g(X(É)) " B}) = P ({É : X(É) " g-1(B)}) = PX(g-1(B))
3. Zbieżność według dystrybuant (zbieżność względem rozkładu, słabo zbieżny)  ciąg dystrybuant Fn jest zbieżny
Ponadto jeśli X jest typu ciągłego to mamy:
D
do dystrybuanty F w każdym punkcie ciągłości F . Oznaczenie: Xn - X.
-

(s)
FY (y) = fX(x)dx.
{x:g(x)zbieżność według prawdopodobieństwa, a z niej wynika zbieżność według dystrybuant.
Jeśli dodatkowo, wiemy że g jest różniczkowalna i ściśle rosnąca (g (x) = 0), to:

Następujące warunki są równoważne ze zbieżnością z prawdopodobieństwem 1:

y "
" " >0 limk" n=k{|Xn - X| < } = 1
FY (y) = (g-1(t)) fX(g-1(t))dt
g-1(-") "
" " >0 limk" n=k{|Xn - X| } = 0
oraz
1
fY (y) = fX(g-1(y))(g-1(y)) = fX(g-1(y)) .
6.1 Twierdzenie o ciągłości
g (g-1(y))
CiÄ…g (Xn)n jest zbieżny wedÅ‚ug rozkÅ‚adu do X wtedy i tylko wtedy, gdy ciÄ…g funkcji charakterystycznych Õn jest
3.5 Niezależne zmienne losowe
zbieżny w każdym punkcie do funkcji ciÄ…gÅ‚ej Õ. Takie Õ jest funkcjÄ… charakterystycznÄ… zmiennej X.
Zmienne losowe X1, X2, . . . , Xn są niezależne jeżeli dla dowolnych zbiorów borelowskich B1, B2, . . . , Bn zachodzi:
P (X1 = B1 '" X2 = B2 '" . . . '" Xn = Bn) = P (X1 = B1)P (X2 = B2) · · · P (Xn = Bn)
1
Wzór podany jest na kilka sposobów  stosuje się zamiennie kilka równoważnych form zapisu.
2 7
Normalny (Gaussowski) Cauchy ego 3.6 Charakterystyki zmiennych losowych
3.6.1 Wartość oczekiwana
" Parametry ¸, 
" Oznaczenie N(p, Ã2), N(0, 1) nazywamy standardo-

wym.
1 1 x-¸ WartoÅ›ciÄ… oczekiwanÄ… zmiennej losowej X nazywamy liczbÄ™ EX.
" F (x) = + arctan
2 Ä„ 
W przypadku, gdy X jest zmienną typu ciągłego wartość oczekiwana ma wartość:

(t)2
t 1
dt
" f(x) =
"1
" F (x) = e- 2 x-¸
= Åš(x)
Ä„ 1+( )2)
2Ä„ -" [ ]

EX = xipi.
i"I
(x-m)2 " Õ(t) = e-|t|
1
"
" f(x) = e- 2Ã2
dla x " R
à 2Ą
o ile szereg jest bezwzględnie zbieżny (jeśli nie jest to EX nie istnieje).
" Wartość oczekiwana i wariancja są niezdefiniowane
W przypadku, gdy X jest zmienną typu ciągłego o gęstości f, wartość oczekiwana wyraża się wzorem:
 nie istnieją gdyż całki rozbiegają do nieskończono-
" EX = m

ści.
EX = xf(x)dx
" V ar(X) = Ã2
" Uwaga. Jeśli X i Y mają standardowy rozkład nor-
R
malny to zmienna X/Y ma rozkład Cauchy ego z
-t2
i istnieje, gdy całka jest zbieżna.
2
" Dla standardowego: Õ(t) = e
parametrami ¸ = 0 i  = 1
Własności wartości oczekiwanej
5 Zmienne losowe wielowymiarowe
" X 0 Ò! EX 0
Wektorem losowym lub zmienną losową wielowymiarową nazywamy dowolną funkcję X : &! Rn, która spełnia
" |EX| E|X|
warunek: "B"B(Rn X-1(B) " F, czyli przeciwobraz dowolnego zbioru borelowskiego z przestrzeni2 Rn musi należeć
)
do à ciała.
" dla a, b " R zachodzi E(aX + bY ) = aEX + bEY
Każdą funkcję wielowymiarową X : &! Rn możemy przestawić w postaci: X = (X1, X2, . . . , Xn), gdzie dla
" dla a " R zachodzi Ea = a
każdego 1 i n Xi : &! R. Funkcja X jest zmiennÄ… losowÄ… wielowymiarowÄ… Ð!Ò! każde Xi jest ( zwykÅ‚Ä… )
zmiennÄ… losowÄ….
" E(X - EX) = 0
Odwzorowanie Õ: Rn Rm nazywamy funkcjÄ… borelowskÄ… gdy przeciwobrazy zbiorów borelowskich z Rm sÄ…
zbiorami borelowskim w Rn.
" E(XY ) = EX " EY , gdy X i Y są niezależne
ZÅ‚ożenie Õ ć% X, gdzie X wektor losowy a Õ funkcja borelowska, jest też wektorem losowym.
Wektor losowy jest wektorem typu dyskretnego, gdy istnieje taki co najwyżej przeliczalny zbiór B borelowski,
Wartość oczekiwana z funkcji zmiennej losowej JeÅ›li Õ jest funkcjÄ… borelowskÄ…, a zmienna losowa X jest typu
że PX(B) = 1.
dyskretnego, to:

Wektor losowy jest wektorem typu ciągłego, gdy istnieje funkcja f taka, że PX(B) = . . . f(x)dx, dla dowol-
B
EÕ(X) = Õ(xi)P (X = xi)
nego B borelowskiego. Funkcję tą nazywamy gęstością (musi ona spełniać dodatkowe warunki, o czym niżej).
i"I
a gdy X jest typu ciągłego, o gęstości f, to:
5.1 Dystrybuanta

Gdy X : &! Rn jest wektorem losowym, dystrybuanta ma postać: F : Rn R, F (t1, t2, . . . , tn) = PX((-", t1) ×
EÕ(X) = Õ(x)f(x)dx
R
(-", t2) × . . . (-", tn)). W przypadku gdy n = 2 mamy: F (x, y) = P (X < x, Y < y) dla(x, y) " R2.
3.6.2 Wariancja
Własności
WariancjÄ… zmiennej losowej X nazywamy liczbÄ™ V ar(X) danÄ… wzorem: V ar(X) = EX2 - (EX)2.

" Jest lewostronnie ciągła i niemalejąca ze względu na każdą zmienną z osoba.
W przypadku zmiennej losowej X typu dyskretnego zachodzi wzór: V ar(X) = (xi - EX)2pi.
i"I
" "x"R limy-" F (x, y) = 0, "y"R limx-" F (x, y) = 0
WÅ‚asnoÅ›ci wariancji " V ar(X) = 0 Ð!Ò! "cP (X = c) = 1
" limx",y" F (x, y) = 1
" V ar(X) 0
" Dla dowolnych punktów (x1, y1), (x2, y2) takich, że x1 x2 i y1 y2 zachodzi nierówność F (x2, y2)-F (x2, y1)-
" V ar(cX) = c2V ar(X) dla c " R
" V ar(X Ä… Y ) = V ar(X) + V ar(Y ) gdy X i Y sÄ…
F (x1, y2) + F (x1, y1) 0
" V ar(X + c) = V ar(X) niezależne
"
5.2 Gęstość
LiczbÄ™ V arX nazywa siÄ™ czasem odchyleniem standardowym i oznacza przez Ã(X).
Własności

3.6.3 Kowariancja i współczynnik korelacji
" PX(B) = . . . f(x)dx
B
Niech X, Y będą zmiennymi losowymi. Liczbę cov(X, Y ) = E[(X - EX)(Y - EY )] nazywamy kowariancją zmiennych

t1 tn
" F (t1, t2, . . . , tn) = . . . f(t1, t2, . . . , tn)dt1dt2 . . . dtn
X i Y . Kowariancję możemy wyliczyć również ze wzoru: cov(X, Y ) = EXY - EXEY . Zauważmy, że gdy X = Y to
-" -"

cov(X, Y ) = cov(X, X) = V ar(X).

" f(x, y)dxdy = 1
R2
TW. |cov(X, Y )| V ar(X)V ar(Y )
2 4
"nFx(x1,...,xn) Ponadto zachodzi: cov(aX +b, cY +d) = ac·cov(X, Y ), cov(a1X1 +a2X2, a3X3 +a4X4) = aiajcov(Xi, Xj).
i=1 j=3
" w punktach ciągłości: f(x1, . . . , xn) = .
"x1..."xn
cov(X,Y )
"
LiczbÄ™ Á(X, Y ) = nazywamy współczynnikiem korelacji zmiennych X i Y .
V ar(X)V ar(Y )
Niezależność zmiennych: "(x,y)"R2F (x, y) = FX(x)FY (y) lub f(x, y) = fX(x)fY (y)
Gdy Á(X, Y ) = 0, to mówimy, że zmienne sÄ… nieskorelowane. Gdy Á(X, Y ) = Ä…1 to P (X = aY +b) = 1 dla pewnych
a, b " R.
2
Zbiory borelowskie w Rn, to à ciaÅ‚o zbiorów zawierajÄ…ce wszystkie zbiory otwarte z tej przestrzeni. Generowane jest np. przez wszystkie
otwarte kostki (iloczyny kartezjańskie przedziałów otwartych).
6 3
3.6.4 Inne charakterystyki liczbowe 4 Katalog zmiennych losowych
Zmienna typu dyskretnego
4.1 Dyskretne

Moment zwykły rzędu r ąr
= EXr = xrpi
i"I i
Równomierny " EX = np

Moment centralny rzÄ™du r µr = E(X - Ä…1
)r = (xi - Ä…1
)rpi
i"I
1
" pi =
" V ar(X) = npq
n
Mediana każda liczba x0,5 spełniająca warunki F (x0,5) 0, 5 limxx0,5 F (x); pi 0, 5 pi
xix1+...+xn
" EX =
" Õ(t) = (peit + q)n
n
Kwantyl rzędu p każda liczba xp, 0 < p < 1 spełniająca warunki F (xp) p limxxp F (x); pi p
xi
pi
xi xp Jednopunktowy
Poissona
Dominanta m0  punkt skokowy xk, różny od min(xi) i max(xi), dla którego p(xk) osiąga maksimum absolutne.
" P (x0) = 1
" Oznaczenie: P()
" EX = x0
Zmienna typu ciągłego " Parametr:  > 0

" V ar(X) = 0
Moment zwykły rzędu r ąr " P (k) = e- k dla k " N
= EXr = xrf(x)dx
R
k!

" Õ(t) = eita
Moment centralny rzÄ™du r µr = E(X - Ä…1 - Ä…1
)r = (x )rf(x)dx
" EX = 
R
Mediana F (x0,5) = 0, 5
Zero-jedynkowy " V ar(X) = 
Kwantyl rzędu p F (xp) = p it
" P (1) = p, P (0) = 1 - p = q
" Õ(t) = e(e -1)
Dominanta m0  odcięta maksimum absolutnego gęstości.
" EX = p
Geometryczny
" V ar(X) = pq
3.7 Funkcja charakterystyczna
" Oznaczenie: Geom(p).
" Õ(t) = peit + q
FunkcjÄ… charakterystycznÄ… zmiennej losowej X nazywamy funkcjÄ™ zespolonÄ… Õ: R C danÄ… wzorem Õ(t) =
" P (1) = p, P (0) = 1 - p
EeitX. W przypadku gdy X jest zmienną losową typu dyskretnego, funkcja charakterystyczna wyraża się wzorem:
Dwumianowy (Bernouliego)

" EX = p
Õ(t) = pkeitxk
" Oznaczenie: B(n, p), n-liczba prób, p-
1-p
k
" V ar(X) =
p2
prawdopodobieństwo sukcesu,
W przypadku ciągłej zmiennej losowej X o gęstości f mamy natomiast:
n
peit
" P (k) = pkqn-k " Õ(t) =
k 1-(1-p)eit
eitxf(x)dx
R
4.2 Ciągłe
Własności funkcji charakterystycznej
Jednostajny(równomierny) Gamma
1. Õ(0) = 1.
" J((a, b)), gdzie (a, b)  przedział
" Oznaczenie: “(p, Ä…)
Å„Å‚
2. "t"RÕ(t) = Õ(-t), gdzie Õ(-t) oznacza liczbÄ™ zespolonÄ… sprzężonÄ… z Õ(-t).
x+a
ôÅ‚ dla a x b Ä…p
òÅ‚
b-a xp-1e-Ä…x dla x > 0
“(p)
" f(x) =
3. "t"R|Õ(t)| 1.
" F (x) = 0 dla x < a
0 dla pozostałych x
ôÅ‚
ół1 dla x > b

"
4. Õ jest funkcjÄ… jednostajnie ciÄ…gÅ‚Ä… (co w szczególnoÅ›ci oznacza, że jest ona ciÄ…gÅ‚a).
gdzie “(p) = xp-1e-xdx, n = 1, 2, 3, . . ., “(n) =
0

(n - 1)!
1
5. Õ jest funkcjÄ… rzeczywistÄ… Ô! rozkÅ‚ad zmiennej losowej X jest symetryczny wzglÄ™dem x = 0. dla a x b
b-a
" f(x) =
it
" Õ(t) = (1 - )-p
0 dla pozostałych x
Ä…
6. JeÅ›li ÕX(t) jest funkcjÄ… charakterystycznÄ… zmiennej losowej X to, funkcjÄ… charakterystycznÄ… zmiennej Y = aX+b
jest funkcja ÕY (t) = eitbÕX(at). b-a
" Uwaga: “(1, Ä…) to rozkÅ‚ad wykÅ‚adniczy.
" EX =
2
n 1
7. Jeżeli istnieje k-ty moment zmiennej losowej X o funkcji charakterystycznej Õ, to Õ jest k-krotnie różniczkowalna
(b-a)2 " Uwaga: “( , ) to tak zwany rozkÅ‚ad Ç2 (chi kwa-
2 2
" V ar(X) =
1
12
i zachodzi zwiÄ…zek Ä…k drat) z n stopniami swobody.
= EXk = Õ(k)(0)
ik
eiat-1
" Dla J((0, a)): Õ(t) =
8. Funkcja charakterystyczna skończonej sumy niezależnych zmiennych losowych równa się iloczynowi funkcji cha- iat
Beta
rakterystycznych tych zmiennych.
sin at
" Dla J((-a, a)): Õ(t) =
at
" Parametry: p, q > 0
TW. Niech F bÄ™dzie dystrybuantÄ…, zaÅ› Õ funkcjÄ… charakterystycznÄ… zmiennej losowej X. Wtedy:

Wykładniczy
1
xp-1(1 - x)q-1 x " (0, 1)
1. Dla a < b takich że, F jest ciągła (w tych punktach) zachodzi
²(p,q)
" f(x) =
" Parametr  > 0
0 w p.p.
R

1 e-ita - e-itb
“(p)“(q)
lim Õ(t)dt = F (b) - F (a)
1 - e-x dla x 0
²(p, q) :=
“(p+q)
R" 2Ä„ it
" F (x) =
-R
0 dla x < 0

1
Laplace a
2. JeÅ›li ponadto |Õ(t)|dt +", to X ma rozkÅ‚ad typu ciÄ…gÅ‚ego, o gÄ™stoÅ›ci f(x) = e-itxÕ(t)dt.
R 2Ä„ R
e-x dla x 0
" f(x) =
" Parametr  > 0
Wniosek. Funkcja charakterystyczna jednoznacznie wyznacza rozkład zmiennej losowej.
0 dla pozostałych x
TW. JeÅ›li Õ jest funkcjÄ… charakterystycznÄ… zmiennej losowej X, okresowÄ… o okresie T = 2Ä„, to X jest zmiennÄ… typu


Ä„ " f(x) = e-|x| dla x " R
1 
2
dyskretnego o wartoÅ›ciach caÅ‚kowitych oraz P (X = k) = e-itkÕ(t)dt, k " Z. " Õ(t) =
2Ä„ -Ä„ 1+t2
4 5


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Rachunek Prawdop Bolt sciaga p8
RP II Zadania Domowe
RP II Zadania serie 01 22 02 p23
RP II Zadania serie 01 09 03 Latala p17
RP II 2013 Osekowski p58
RP II Kolokw 20 XII 2004 Poprawkowe
RP II Zadania Domowe 2
II kolo sciaga
RP II
RP II 2013 Osekowski p37
RP II starr kolokwium 4 XII 2008
RP II 2011 Osekowski p60
Kartkowka 1 RP II 2008 p1
RP II Kartk, Kolokw i Egzaminy p18

więcej podobnych podstron