Komputerowa Analiza Układów Elektrycznych 2
część 9
dr hab. inż. Stanisław Hałgas
Instytut Systemów Inżynierii Elektrycznej
Zakład Układów i Systemów Nieliniowych
Politechnika Aódzka
Aódz 2013
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE Aódz 2013 1 / 37
Stany nieustalone w liniowych obwodach elektrycznych Podstawowe pojęcia
Stany nieustalone
Stany nieustalone
układ liniowy skupiony i stacjonarny (SLS) Metody analizy:
metoda klasyczna
metoda operatorowa
metoda równań stanu
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE Aódz 2013 2 / 37
Stany nieustalone w liniowych obwodach elektrycznych Podstawowe pojęcia
Stany nieustalone
Warunki poczÄ…tkowe
Elementy inercyjne (indukcyjność i pojemność) zdolne są do gromadzenia energii i energia
zgromadzona w tych elementach może być w chwili t0 niezerowa.
wL = 0.5Li2
wC = 0.5Cu2
Znajomość wartości energii całkowitej zgromadzonej w układzie SLS w dowolnej chwili t0
wymaga znajomości w chwili t0 wartości prądów we wszystkich indukcyjnościach i wartości
napięć na wszystkich pojemnościach.
Warunki początkowe określają całkowitą wartość energii zgromadzonej w układzie w chwili t0.
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE Aódz 2013 3 / 37
Stany nieustalone w liniowych obwodach elektrycznych Podstawowe pojęcia
Stany nieustalone
Warunki poczÄ…tkowe
Równania obwodowe dla układu SLS zawierającego elementy inercyjne można przedstawić w
postaci równań różniczkowych zwyczajnych, liniowych o współczynnikach stałych i/lub
równań algebraicznych.
Jednoznaczne wyznaczenie ich rozwiązań dla czasów t t0 wymaga znajomości warunków
początkowych, t.j. wartości odpowiednich prądów i napięć w chwili t0.
t
1
iL = uLdÄ + iL (t0)
L
t0
t
1
uC = iCdÄ + uC (t0)
C
t0
Dla ustalenia wzajemnie jednoznacznej zależności między prądem a napięciem w cewce i
kondensatorze dla czasów t t0 potrzebna jest znajomość w chwili t0 wartości iL oraz uC. Są
to warunki poczÄ…tkowe.
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE Aódz 2013 4 / 37
Stany nieustalone w liniowych obwodach elektrycznych Podstawowe pojęcia
Stany nieustalone
Warunki poczÄ…tkowe
Wniosek: warunki początkowe są określone
przez wartości iL(t0) oraz uC(t0) w
indukcyjnościach i pojemnościach układu.
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE Aódz 2013 5 / 37
Stany nieustalone w liniowych obwodach elektrycznych Podstawowe pojęcia
Stany nieustalone
Warunki poczÄ…tkowe zerowe i niezerowe
Jeżeli w chwili t = t0 wszystkie wartości iL(t0) oraz uC(t0) są zerowe, a zatem energia
zmagazynowana w układzie dla t0 jest równa zeru to mówimy o zerowych warunkach
poczÄ…tkowych.
W przeciwnym przypadku mówimy o niezerowych warunkach początkowych.
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE Aódz 2013 6 / 37
Stany nieustalone w liniowych obwodach elektrycznych Podstawowe pojęcia
Stany nieustalone
Podstawowe pojęcia
Komutacja komutacją w obwodzie nazywamy natychmiastowe włączenie, wyłączenie lub
przełączenie elementu lub części obwodu.
Stan nieustalony powstaje w układzie bezpośrednio po komutacji i trwa praktycznie tak
długo jak długo nie są pomijalne efekty wywołane włączeniem reprezentowane przez składową
swobodną (przejściową).
Stan ustalony mówimy, że układ jest w stanie ustalonym, jeżeli odpowiedzi w układzie mają
taki sam charakter jak pobudzenia.
Stan obwodu zbiór napięć i prądów w układzie pozwalający na pełne określenie wszystkich
wielkości obwodowych.
Zbiór zmiennych stanu najmniejszy zbiór napięć i prądów w układzie pozwalający obliczyć
pozostałe wielkości obwodowe.
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE Aódz 2013 7 / 37
Stany nieustalone w liniowych obwodach elektrycznych Podstawowe pojęcia
Stany nieustalone
Podstawowe pojęcia
RzÄ…d obwodu
1
najmniejsza liczba warunków początkowych pozwalająca na pełne określenie
odpowiedzi układu
2
rząd równania różniczkowego opisującego układ
3
rozmiar wektora zmiennych stanu
W obliczeniach ręcznych stosuje się dwie metody:
1
metodę klasyczną polegającą na bezpośrednim rozwiązywaniu równań różniczkowych
opisujących układ
2
metodę operatorową opartą o przekształcenie Laplace a.
W obliczeniach komputerowych stosuje siÄ™ metodÄ™ zmiennych stanu.
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE Aódz 2013 8 / 37
Stany nieustalone w liniowych obwodach elektrycznych Analiza obwodów liniowych w stanie nieustalonym metodą klasyczną
Stany nieustalone
iC
C
u
uC
R
Układ RC
u = Um sin (Ét + Õu)
"
Um Ä„
uC = Im 2UCejÉt =
2 sin Ét + Õu - Õ -
2
1
ÉC R2 +
ÉC
1
Õ = -arc tg
ÉCR
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE Aódz 2013 9 / 37
Stany nieustalone w liniowych obwodach elektrycznych Układ RC
Stany nieustalone
Układ RC
z NPK
u = Ri + uC
PodstawiajÄ…c
duC
i = C
dt
otrzymujemy równanie różniczkowe niejednorodne
duC
RC + uC = Um sin(Ét + Õu)
dt
Pełne rozwiązanie RN
RORN = RORJ +RSRN
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE Aódz 2013 10 / 37
Stany nieustalone w liniowych obwodach elektrycznych Układ RC
Stany nieustalone
Układ RC
RORN = RORJ +RSRN
RSRN oznaczane w analizie obwodów uCw, wyznaczamy obliczając napięcie na kondensatorze
w stanie ustalonym po komutacji.
RORJ oznaczane w analizie obwodów uCs, wyznaczamy rozwiązanie równania jednorodnego.
duCs
RC + uCS = 0
dt
Rozwiązanie RORJ ma postać wzoru Helmholtza
t
RC
uCs = Ae-
Stała A zależy od warunku początkowego
t
RC
uC = uCW + uCS = uCW + Ae-
t " uc ucw ucs 0
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE Aódz 2013 11 / 37
Stany nieustalone w liniowych obwodach elektrycznych Układ RC
Stany nieustalone
Układ RC
Dwie metody analizy układów I rzędu:
1
poprzez układanie na podstawie PPK i NPK dla pełnego układu równania
różniczkowego oraz rozwiązania go
2
poprzez zastąpienie układu widzianego z zacisków L lub C dwójnikiem
Thevenina/Nortona i skorzystanie z pewnego szablonu
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE Aódz 2013 12 / 37
Stany nieustalone w liniowych obwodach elektrycznych Układ RC
Stany nieustalone
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE Aódz 2013 13 / 37
Stany nieustalone w liniowych obwodach elektrycznych Układ RC
Stany nieustalone
Układ RC
duC
RzC + uC = eZ
dt
RzC = Ä staÅ‚a czasowa
duC 1 1
+ uC = eZ
dt Ä Ä
t
RZ C
uC = uCw + Ae-
Składową wymuszoną uCw wyznaczamy znanymi metodami analizy obwodów liniowych w
stanie ustalonym.
t = 0 Ò! A = uC(0) - uCw(0)
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE Aódz 2013 14 / 37
Stany nieustalone w liniowych obwodach elektrycznych Układ RC
Stany nieustalone
Układ RC
Pełne rozwiązania
t
uC = uCW + (uC(0) - uCW (0))e- Ä
Przy wyznaczaniu wartości początkowej korzystamy z zasady zachowania ładunku
kondensatora.
W myśl tej zasady ładunek kondensatora q(t) nie może zmienić się momentalnie, a stąd
wynika, że q(t) jest ciągłą funkcją czasu.
-
q(t0 ) lewostronna granica q(t) dla t = t0
+
q(t0 ) prawostronna granica q(t) dla t = t0
+
0
t
dq
+ -
i = Ò! q(t0 ) = q(t0 ) + iC(Ä)dÄ
dt
-
t0
+
t0
+ -
Jeżeli iC(t) jest skoÅ„czone (t0 - t0 = 0) to iC(Ä)dÄ 0
-
t0
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE Aódz 2013 15 / 37
Stany nieustalone w liniowych obwodach elektrycznych Układ RC
Stany nieustalone
Układ RC
+ -
q(t0 ) = q(t0 )
Ó!
+ -
Cq(t0 ) = Cq(t0 )
Ó!
+ -
uC(t0 ) = uC(t0 )
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE Aódz 2013 16 / 37
Stany nieustalone w liniowych obwodach elektrycznych Układ RC - stała czasowa
Stany nieustalone
Układ RC
t
Ä
uCS(t) = Ae-
jednakowe współczynniki skali na obu osiach mu = mt
uCS
A
A
Å‚
²
t
0
tk
tj x
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE Aódz 2013 17 / 37
Stany nieustalone w liniowych obwodach elektrycznych Układ RC - stała czasowa
Stany nieustalone
Układ RC
tj 0
tj
duCS A
Ä
=
- e- = tg ² = -tg Å‚
dt Ä
t=tj
tg² = tg (180 - Å‚) = -tgÅ‚
tj
A Ae- Ä
tgł = =
x tk - tj
tj tj
A -A
- e- Ä
= e- Ä
Ä tk - tj
tk - tj = Ä
Stałą czasową interpretujemy jako długość odcinka, zawartego pomiędzy rzutem dowolnego
punktu na krzywej uCS(t) na oś odciętych a punktem przecięcia stycznej, poprowadzonej w
tym punkcie, z osią odciętych.
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE Aódz 2013 18 / 37
Stany nieustalone w liniowych obwodach elektrycznych Układ RC - stała czasowa
Stany nieustalone
Układ RC
t = Ä Ò! uCS(Ä) = Ae-1 = 0.368A
t = 5Ä Ò! ucs = 0.01A
Czas zanikania składowej swobodnej wynosi około pięć stałych czasowych.
Po upływie tego czasu mamy praktycznie do czynienia ze stanem ustalonym, a rozwiązanie
obejmuje tylko składową wymuszoną.
W przedziale czasu równym Ä funkcja wykÅ‚adnicza maleje e razy.
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE Aódz 2013 19 / 37
Stany nieustalone w liniowych obwodach elektrycznych Układ RC - przykład
Stany nieustalone
Układ RC
Przed komutacją układ był w stanie ustalonym. Wyznaczyć i narysować uC, uR4, iC.
Dane: e1 = 20V, e2 = 8V, C = 100µF, R1 = R4 = 10k&!, R2 = R3 = 5k&!
R2 R3 t=0
t=0
e1
uC
C
e2
R1 R4 uR4 iC
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE Aódz 2013 20 / 37
Stany nieustalone w liniowych obwodach elektrycznych Układ RC - przykład
Stany nieustalone
Układ RC
t < 0
e2 8
uC 0- = (R2 + R4) = 15k&! = 6V
R2 + R3 + R4 20k&!
e2 8
uR4 0- = (R4) = 10k&! = 4V
R2 + R3 + R4 20k&!
R2 R3
uC(0)
e2
uR4(0) iC(0)=0
R4
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE Aódz 2013 21 / 37
Stany nieustalone w liniowych obwodach elektrycznych Układ RC - przykład
Stany nieustalone
Układ RC
t > 0
RZ = (R1 R4 ) + R2 = 10k&!
e1
eZ = uAB = R4 = 10V
R1 + R4
R2
A
e1
uAB
R1 R4 uR4 B
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE Aódz 2013 22 / 37
Stany nieustalone w liniowych obwodach elektrycznych Układ RC - przykład
Stany nieustalone
Układ RC
uCw = eZ = 10V
Ä = RZC = 10 · 103 · 100 · 10-6 = 1s
A = uC 0+ - uCw 0+ = 6 - 10 = -4V
eZ
C uC
RZ
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE Aódz 2013 23 / 37
Stany nieustalone w liniowych obwodach elektrycznych Układ RC - przykład
Stany nieustalone
Układ RC
uC (t) = uCw + uCs = 10 - 4e-t
uC
10
8
6
4
2
0
0 2 4 6 8 10
t
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE Aódz 2013 24 / 37
Stany nieustalone w liniowych obwodach elektrycznych Układ RC - przykład
Stany nieustalone
Układ RC
duC
iC (t) = C = 0.4e-tmA
dt
iC
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
0 2 4 6 8 10
t
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE Aódz 2013 25 / 37
Stany nieustalone w liniowych obwodach elektrycznych Układ RC - przykład
Stany nieustalone
Układ RC
uR4 (t) = uC + R2iC = 10 - e-tV
uR4
10
8
6
4
2
0
0 2 4 6 8 10
t
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE Aódz 2013 26 / 37
Stany nieustalone w liniowych obwodach elektrycznych Układ RC - przykład
Stany nieustalone PSPICE
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE Aódz 2013 27 / 37
Stany nieustalone w liniowych obwodach elektrycznych Układ RC - przykład
Stany nieustalone PSPICE
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE Aódz 2013 28 / 37
Stany nieustalone w liniowych obwodach elektrycznych Układ RC - przykład
Stany nieustalone PSPICE
Rz=1/0.0001=10k©
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE Aódz 2013 29 / 37
Stany nieustalone w liniowych obwodach elektrycznych Układ RC - przykład
Stany nieustalone PSPICE
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE Aódz 2013 30 / 37
Stany nieustalone w liniowych obwodach elektrycznych Układ RC - przykład
Stany nieustalone PSPICE
10.0V
9.5V
9.0V
8.5V
8.0V
7.5V
7.0V
6.5V
6.0V
0s 1s 2s 3s 4s 5s 6s 7s 8s 9s 10s
V($N_0002)
Time
Ä
1s
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE Aódz 2013 31 / 37
Stany nieustalone w liniowych obwodach elektrycznych Układ RC - przykład
Stany nieustalone PSPICE
400uA
350uA
300uA
250uA
200uA
150uA
100uA
50uA
0A
0s 1s 2s 3s 4s 5s 6s 7s 8s 9s 10s
I(C3)
Time
Ä
1s
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE Aódz 2013 32 / 37
Stany nieustalone w liniowych obwodach elektrycznych Układ RC - przykład
Stany nieustalone PSPICE
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE Aódz 2013 33 / 37
Stany nieustalone w liniowych obwodach elektrycznych Układ RC - przykład
Stany nieustalone PSPICE
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE Aódz 2013 34 / 37
Stany nieustalone w liniowych obwodach elektrycznych Układ RC - przykład
Stany nieustalone PSPICE
10.0V
9.5V
9.0V
8.5V
8.0V
7.5V
7.0V
6.5V
6.0V
0s 1s 2s 3s 4s 5s 6s 7s 8s 9s 10s
V($N_0005)
Time
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE Aódz 2013 35 / 37
Stany nieustalone w liniowych obwodach elektrycznych Układ RC - przykład
Stany nieustalone PSPICE
800uA
700uA
600uA
500uA
400uA
300uA
200uA
100uA
0A
0s 1s 2s 3s 4s 5s 6s 7s 8s 9s 10s
I(C1)
Time
W chwili t=1s widać błędy numeryczne
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE Aódz 2013 36 / 37
Stany nieustalone w liniowych obwodach elektrycznych Układ RC - przykład
Stany nieustalone PSPICE
10V
8V
6V
4V
2V
0V
0s 1s 2s 3s 4s 5s 6s 7s 8s 9s 10s
V($N_0004)
Time
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE Aódz 2013 37 / 37
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
KAUE2 1KAUE2 2KAUE2KAUE2 5KAUE2 4KAUE2 6KAUE2 3KAUE2 8KAUE2 7więcej podobnych podstron