Algebra z geometrią analityczną listy zadań

1
Zadania z Algebry i geometrii analitycznej
Informatyka i Mechatronika
Studia dzienne i zaoczne
Macierze. Wyznaczniki macierzy.
�ł1 3łł �ł2 1łł
1.Niech A = , B =
�ł0 1śł �ł1 0śł. Znalezć AB oraz BA. Czy AB=BA ?
�ł �ł �ł �ł
2. Niech
1 0
�ł -1 1 2 3
łł �ł łł
1 2 3 cos
�ł łł �ł ą sin ąłł
�ł3 śł, C �ł1 1 łł �ł0
A =
�ł3 2 1śł, B = �ł 0 1 śł = �ł1 -1śł, D = �ł 3 0śł, E = �ł- sin ą cos ąśł
śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
�ł �ł śł
�ł0 0 2 śł �ł1 2 3�ł
�ł
Wyznaczyć; jeśli to mo\liwe; następujące macierze: a) AB - A ;
b) C 2- AAT ;
c) D _ AT A;
d) 4B 2DT ;
e) AB + 3I;.
f) E2 : En.
3. Niech
1
�ł -1
łł
A =
�ł-1 1 śł
�ł �ł
Obliczyć f(A) dla : a) f(X) = X2 5X + 3I
b) f(X) = X3 I.
4. Obliczyć wyznaczniki następujących macierzy:
1 2 3 x y x+y a b c siną cosą 1
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
śł, c) �łc a bśł, d) �łsin � cos� 1śł,
a) �ł3 2 1śł, b) �ł y x+y x
�ł śł �ł śł �ł śł �ł śł
�ł śł śł
�ł3 1 2�ł �ł �ł �łb śł �łsin
�łx+y x y śł �ł c a�ł �ł ł cos ł 1�ł
1 0 1 2
�ł łł �ł-3 0 0 0 1 0 -3 2
łł �ł łł
�ł2 1 1 -1śł �ł śł
2 5 0 0śł �ł 0 1 3 1
śł, f) �ł śł, g)�ł śł
e) �ł
�ł -1 1
śł �ł-1 3 2 0
śł �ł-2 0 6 -4
śł
5 2
�ł1 1 1 0 śł �ł śł
1 2 3 4śł �ł 1 2 3 4
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
A 0
�ł łł
h) �ł , gdzie A i B są macierzami kwadratowymi
0 Bśł
�ł �ł
4* Obliczyć wyznaczniki macierzy:
a11 0 .. 0 a11 0 ... 0 0 0 0 x1
�ł łł �ł łł �ł łł
�ł śł �ł śł �ł śł
0 a22 ... 0 0 a22 ... 0 0 0 x2 0
�ł śł, �ł śł, �ł śł.
�ł śł �ł śł �ł śł
. . . . . . ... . 0 x3 0 0
�ł śł �ł śł �ł śł
0 0 ... ann �ł �łan1 an2 ... ann �ł �łx4 0 0 0
�ł �ł
2
x 1 1
�ł łł
�ł1
5. Rozwiązać równanie : det x 1śł = 0
�ł śł
�ł śł
�ł1 1 x�ł
6.Wyznaczyć rzędy następujących macierzy:
1 4 2
�ł łł
1 0 2 0 1 2 2
�ł łł �ł łł
�ł śł
�ł3 śł, �ł 2 4 6 śł, c) �ł-1 1 -1śł
a) 2 0 1 b)
�ł śł �ł śł
�ł -1 -1
śł
0
�ł �ł śł
0 3 2
�ł śł
�ł4 1 0 2śł �ł �ł
�ł
3 7 1
�ł �ł
7. Podać przykład macierzy :
a) wymiaru 2x5 rzędu 1;
b) wymiaru 4x4 rzędu 2.
8. Niech :
1 1 0 3
�ł łł �ł łł
A =
�ł3 1śł, B = �ł1 0śł, Zastosować twierdzenie Cauchy`ego do obliczenia :
�ł �ł �ł �ł
a) detAB;
b) det A3B;
c) det ABT.
Ile wynosi det (-2A), det(5B) ?
9.Wyznaczyć macierze odwrotne do ni\ej podanych:
1 2 0 0
�ł łł
1 2 1
�ł łł
�ł
0 1 cos �ł
�ł łł �ł ą sin ąłł 2 2łł �ł1
śł; e) �ł4 2 0 0śł
a) �ł ; b)
�ł śł; d)
�ł- sin ą cos ąśł; c) 2 2�ł �ł 0 1 śł �ł0 0 - 2 0śł;
śł
�ł-1 0śł �ł �ł
�ł
�ł-
�ł -1�ł �ł
śł
�ł2 1 śł
�ł0 0 0 1�ł
.
10. Dla jakiego parametru p "R , istnieje macierz odwrotna do A, gdy :
1 p 1
�ł łł
p - 3
�ł łł
�łp
a) A =
b) A = 2 0śł
�łp -1 p +1śł
�ł śł
�ł �ł
�ł śł
�ł1 p 3�ł
11. Wyznaczyć macierz X z równania
2
�ł - 3 3 1 0
łł �ł łł
a) �ł X = �ł
śł;
�ł1 -1śł �ł1 1 1 �ł
�ł
2 0
�ł łł
2
�ł - 3
łł �ł śł
b) X�ł =
�ł-1 2śł;
�ł1 -1śł �ł
�ł
1 -1śł
�ł �ł
3
Układy równań liniowych.
12. Korzystając ze wzorów Cramera rozwiązać układy równań:
2x
ńł - y - z = 4
x + 5y = 2
ńł
a)�ł , b)�ł3x + 4y - 2x = 11.
�ł
ół- 3x + 6y = 15
�ł3x - 2y + 4z = 11
ół
13. Korzystając z metody eliminacji Gaussa rozwiązać układy równań:
2x + y + z = 1 x + 2y + 3z - t = -1
ńł ńł
x + 2y + 3z - t = -1
ńł
�ł3x - y + 3z = 2 �ł
3x + 6y + 7z + t = 5
�ł �ł �ł
a)�ł , b)�ł ., c) �ł3x + 6y + 7z + t = 5
x + y + z = 0
�ł �ł2x + 4y + 7x - 4t = -6 �ł2x + 4y + 7z - 4t = -6
ół
�ł �ł
x - y + z = 1 4x + 8y +10z = 4
ół ół
x
ńł - 2y + 3z - t = 2
x + y + z + t = 0
ńł
�ł3x
d) - y + 5z - 3t = 6 e)
�ł �ł2x
�ł2x + y + 2z - 2t = 8 ół + 3y - 3z + 5t = 0
ół
.
14. Dla jakich wartości parametru p"R układy równań liniowych
x + y + z = 0 px + 2y = 4
ńł ńł
�ł �ł
�ł2x - y + pz = 1 �łpy - z = 3
�łx + 4y - 6z = p �łpx + py + z = p
ół ół
mają: a) 0 rozwiązań;
b) 1 rozwiązanie;
c) nieskończenie wiele rozwiązań.
15. Ułó\ układy równań mające podane zbiory rozwiązań:
a) {[1,t,2 - t],t " R},
b) {[1- t + 2s,1+ 2t,-2 + s,t - s]t,s " R}
c) {[1,2,-3,1]}.
16. Zastąpić znaki ? liczbami tak, aby otrzymane układy równań miały dokładnie po jednym
rozwiązaniu
x + y + z = 0 x + ? y + z = 0
ńł ńł
�ł �ł
a) 2x + y + z = 1 b) x + ? y + z = 1
�ł �ł
�ł? x + ? y + ? z = 1 �ł2x + ? y + z = 1
ół ół
Wektory. Działania na wektorach.
17. Punkty A(1,-2,-3), B(2,4,0), C(3,-1,-2) są wierzchołkami równoległoboku ABCD.
Wyznaczyć współrzędne punktu D; długość przekątnych oraz punkt przecięcia przekątnych.
18. Czy punkty A(2,1,0) , B(3,-2,2), C(8,-1,1), D(7,2,-1) są wierzchołkami prostokąta ?
Obliczyć długość AB oraz AC oraz kąt między nimi.
19. Wskazać, które z wektorów [1,-3,-2], [1,-2,-3], [-2,2,2], [-2,4,6], [-2,0.-1] są:
a) prostopadłe; b) równoległe.
4
20. Obliczyć: [1,2,3]x[3,1,-1] oraz [1,-1,1]x[-1,2,-3].
21. Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach (1,2,3), (3,1,0), (1,1,1).
22. Obliczyć objętość czworościanu o wierzchołkach (0,0,0), (-1,2,1), (1,3,-2),(2,-1,5). Jaką
długość ma wysokość czworościanu poprowadzona z wierzchołka (2,-1,5).
Proste i płaszczyzny.
23. Sprawdzić, czy punkty : (1,3,0), (2,4,5), (3,5,9) le\ą na jednej prostej.
24. Napisać równanie prostej ( parametryczne i kierunkowe ) przechodzącej przez punkt
(1,2,3) i równoległej do wektora [-1,0,2].
25. Napisać równanie prostej przechodzącej przez punkt (1,2,3) i równoległej do prostej
ńł
x + y + z - 3 = 0
�ł
.
2x + y + 5 = 0
ół
26. Które z podanych prostych są :
a) równoległe,
b) prostopadłe,
c) przecinają się ( wyznaczyć punkt przecięcia i kąt między nimi);
d) skośne
x = 2
ńł - t x = 1+ s x = 1+ 3t
ńł ńł
�ł �ł �ł
l = = 3 + t k = = s m = = 3 - 3t
�ły �ły �ły
�łz = 1+ t, t " R �łz = 2 - s , s " R �łz = 7 - 3t, t " R
ół ół ół
x = 1+ 2t x = 1+ 2t
ńł ńł
�ły �ły
n = = 5 + 3t p = = 3 - t
�ł �ł
�łz = -t, t " R �łz = 1+ t, t " R
ół ół
27. Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt (1,2,3) i
a) prostopadłej do wektora [-1,0,2],
b) przez punkty (-1,0,2), (2,-1, -1),
x =
ńł -3 + 2t
�ł
c) zawierającej prostą : = 2 - 3t
�ły
�ł
z = 6
ół
d) równoległej do płaszczyzny: x+y+3z-3=0.
28. Znalezć punkty, w których płaszczyzna:
a) 2x + 3y + 4z 12=0;
b) x + y = 2
przecina osie układu współrzędnych.
29. Obliczyć odległość płaszczyzny x + y + 2z 5 = 0 od
a) punktu (1,1,1),
5
ńł
x = -1+ 2t
�ł
�ł
b) prostej y = -3 + 2t ,
�ł
z = 4t
ół
c) płaszczyzny : 2x + 2y + 4z - 6 = 0.
x =
ńł -1+ 2t
�ły
30. Obliczyć odległość prostej l = = -3 + 2t od
�ł
�ł
z = 4t
ół
a) punktu (1,1,1),
x = 1+ s
ńł
�ł
b) prostej k = y = 2 + s
�ł
�łz = -1+ 2s,
ół
x = 1+ s
ńł
�ły
c) prostej. m = = 2 + 2s
�ł
�ł
z = 1- 2s
ół
31. Obliczyć kąt (tzn. jego sinus lub cosinus ) między :
a) prostą
x = 1+ t
ńł
�ły = 1- t
�ł
�łz = 1+ 2t, t " R
ół
i płaszczyzną -x + 5z 7 = 0;
b) płaszczyznami : x + 2y + 2z 7 = 0 i 2x 2y 2z + 3 = 0.

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
geometria analityczna, lista zadań
Algebra z Geometrią Analityczną Ćw
,algebra liniowa z geometrią analityczną, ILOCZYN TENSOROWY zadania
Algebra Kart Geometria Analityczna R3 30 11 2012
listy zadań algebra
listy zadań algebra
listy zadan 08
geometria analityczna

więcej podobnych podstron