Prawdopodobieństwo i statystyka 20.03.2006 r. ___________________________________________________________________________ Zadanie 1. Zmienne losowe X1, X ,K, X5 są niezależne i mają jednakowy rozkład o gęstości 2 ż# e-x gdy x > 0 p (x) = , # 0 gdy x d" 0 # gdzie > 0 jest ustaloną liczbą. Niech Y oznacza zmienną losowa równą 1, gdy 5 X1 e" 3 , i równą 0 w pozostałych przypadkach. Niech T = X . Wyznaczyć " i i=1 E(Y | T = 5). (A) 0,05120 (B) 0,00256 (C) 0,02560 (D) 0,10240 (E) 0,01024 1 Prawdopodobieństwo i statystyka 20.03.2006 r. ___________________________________________________________________________ Zadanie 2. Obserwujemy niezależne zmienne losowe X1, X , X ,Y1,Y2,Y3,Y4 . Zmienne losowe 2 3 X1, X , X mają ten sam rozkład o dystrybuancie Fź , a zmienne losowe Y1,Y2,Y3,Y4 2 3 1 maja ten sam rozkład o dystrybuancie Fź . Dystrybuanta Fź spełnia warunek 2 Fź (x) = F(x - ź) dla pewnej ustalonej, nieznanej, ciągłej, ściśle rosnącej dystrybuanty F. Weryfikujemy hipotezę H0 : ź1 = ź2 przy alternatywie H1 : ź1 > ź2 stosując test o obszarze krytycznym K = {S : S > 13} , gdzie S jest sumą rang zmiennych losowych X1, X , X w próbce złożonej ze 2 3 wszystkich obserwacji ustawionych w ciąg rosnący. Wyznaczyć rozmiar testu. 11 (A) 35 12 (B) 35 10 (C) 35 9 (D) 35 8 (E) 35 2 Prawdopodobieństwo i statystyka 20.03.2006 r. ___________________________________________________________________________ Zadanie 3. Zmienna losowa N ma rozkład Poissona z nieznanym parametrem > 0 . O parametrze zakładamy, że podlega rozkładowi a priori gamma Gamma(2,8) . Zmienna losowa ma rozkład beta Beta(1,2) . Zmienne N i są niezależne i zmienne i są niezależne. Obserwujemy zmienną losową X, która przy znanych wartościach N i ma rozkład dwumianowy bin(N, ) . Wyznaczyć wartości a i b najlepszego liniowego predyktora zmiennej losowej N , to znaczy liczby a i b minimalizujące wielkość 2 E(N - aX - b) . 54 35 A) a = , b = 53 212 24 17 (B) a = , b = 25 100 18 5 (C) a = , b = 11 44 18 5 (D) a = , b = 11 22 54 35 (E) a = , b = 53 106 Uwaga. Gęstość rozkładu gamma Gamma(ą, ) jest równa ą
pą , (x) = xą -1e-x dla x > 0 . (ą) Gęstość rozkładu beta Beta(ą, ) jest równa (ą + ) fą , (x) = xą -1(1 - x) -1 dla x " (0,1) . (ą)( ) 3 Prawdopodobieństwo i statystyka 20.03.2006 r. ___________________________________________________________________________ Zadanie 4. 2 Na podstawie prostej próby losowej X1, X ,K, X testowano hipotezę H0 : = 1 2 20 2 2 przy alternatywie H1 : > 1, gdzie jest parametrem odpowiadającym za wariancję zmiennej losowej Xi za pomocą testu o obszarze krytycznym 20 ż# # K = Xi2 > tŹ# . # " # i=1 # Jeżeli dodatkowo wiadomo, że zmienne losowe Xi mają rozkład zadany gęstością 2 f (x) = | x | e-x , gdy x " R , gdzie > 0 jest nieznanym parametrem, to przy poziomie istotności ą = 0,05 , wartość krytyczna t jest równa (A) 55,7585 (B) 31,4104 (C) 18,3070 (D) 27,8793 (E) 15,7052 4 Prawdopodobieństwo i statystyka 20.03.2006 r. ___________________________________________________________________________ Zadanie 5. Na podstawie prostej próby losowej X1, X , X3,K, X z rozkładu gamma o gęstości 2 n 2 ż# xe-x gdy x > 0 f (x) = # 0 gdy x d" 0 # estymujemy parametr wykorzystując estymator największej wiarogodności Ć . Wyznaczyć w przybliżeniu rozmiar próby n taki, że # ś# |Ć - | Pś# d" 0,05ź# H" 0,95 . ś# ź#
# # Posłużyć się aproksymacją rozkładem normalnym. Wybrać spośród podanych liczb najbliższe przybliżenie. (A) 400 (B) 800 (C) 1600 (D) 3200 (E) 2400 5 Prawdopodobieństwo i statystyka 20.03.2006 r. ___________________________________________________________________________ Zadanie 6. Rzucono niezależnie 16 razy symetryczną monetą. Obliczyć prawdopodobieństwo, że uzyskano 7 serii, jeśli wiadomo, że uzyskano 10 orłów i 6 reszek. 210 (A) 1001 150 (B) 1001 75 (C) 1001 105 (D) 1001 45 (E) 1001 Uwaga. Serią nazywamy ciąg elementów jednego typu, przed i za którym występuje element drugiego typu, na przykład w ciągu : aaabbbbaabbbbba jest 5 serii (3 serie elementów typu a i 2 serie elementów typu b). 6 Prawdopodobieństwo i statystyka 20.03.2006 r. ___________________________________________________________________________ Zadanie 7. Zmienne losowe X i Y są niezależne i każda ma rozkład prawdopodobieństwa o gęstości 4 ż# gdy x > 0 # f (x) = . (1 + x)5 # # 0 gdy x d" 0 # ln(1 + X ) Rozważamy zmienną losową U = ln[(1 + X )(1 + Y )]. Prawdziwe jest następujące twierdzenie. (A) Zmienna losowa U ma rozkład o gęstości p(x) = 140x3(1- x)3 , gdy x " (0,1) (B) Zmienna losowa U ma rozkład jednostajny na przedziale (0,1) (C) E(X |U = 0,5) = 2 (D) Cov(X ,U ) < 0 (E) EU = 0,75 7 Prawdopodobieństwo i statystyka 20.03.2006 r. ___________________________________________________________________________ Zadanie 8. Zmienne losowe Z1, Z2 ,K, Zn i (X1,Y1), (X ,Y2 ),K,(X ,Yn ) są niezależne. Każda ze 2 n zmiennych losowych Zi ma jednakowy rozkład prawdopodobieństwa P(Zi = 1) = p = 1 - P(Zi = 0). Każda ze zmiennych losowych ( Xi ,Yi ) ma jednakowy 2 rozkład prawdopodobieństwa taki, że EXi = EYi = m i VarX = VarYi = i i n n współczynnik korelacji Corr( Xi ,Yi ) = . Niech Sn = Xi i Tn = Yi . "Z "Z i i i=1 i=1 Zbadać zbieżność rozkładów prawdopodobieństwa zmiennych Sn - Tn przy n + " n Sn - Tn 2 (A) N (0, 2 p (1 - ) + 2m2 p2 ) n Sn - Tn 2 (B) N(0, 2 p + 2m2 p(1 - p)) n Sn - Tn 2 (C) N (0, 2 p(1 - p) (1 - )) n Sn - Tn 2 (D) N (0, 2 p (1 - )) n Sn - Tn (E) nie jest ciągiem zbieżnym do rozkładu normalnego n 8 Prawdopodobieństwo i statystyka 20.03.2006 r. ___________________________________________________________________________ Zadanie 9. Wiadomo, że A, B, C są zdarzeniami losowymi takimi, że 2 1 1 P(B) = P( A | B) = P(C | A) = 5 4 4 3 1 P( A *" B) = P(C | A )" B) = . 5 2 Obliczyć P(B | A )" C). (A) Podane informacje nie wystarczają do wyznaczenia P(B | A )" C) 3 (B) 5 1 (C) 2 3 (D) 10 2 (E) 3 9 Prawdopodobieństwo i statystyka 20.03.2006 r. ___________________________________________________________________________ Zadanie 10. Niech X1, X ,K, X będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym 2 6 rozkładzie jednostajnym na przedziale [- ,], gdzie > 0 jest nieznanym parametrem. Niech Ć oznacza estymator największej wiarogodności parametru . Obliczyć P(Ć < < 2Ć). (A) 0,8232 (B) 0,9998 (C) 0,9858 (D) 0,9844 (E) 0,8220 10 Prawdopodobieństwo i statystyka 20.03.2006 r. ___________________________________________________________________________ Egzamin dla Aktuariuszy z 20 marca 2006 r. Prawdopodobieństwo i statystyka Arkusz odpowiedzi* Imię i nazwisko : ...................... K L U C Z O D P O W I E D Z I ............................ Pesel ........................................... Zadanie nr Odpowiedz Punktacjaf& 1 C 2 A 3 A 4 D 5 B 6 B 7 B 8 D 9 E 10 D * Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi. f& Wypełnia Komisja Egzaminacyjna. 11