Kolokwium połówkowe z Analizy matematycznej i algebry liniowej
WETI, IBM gr.1-3, 2 sem., r. ak. 2009/2010
1. [4p.] Obliczyć całkę (2x+3y-z) dxdydz, gdzie V jest graniastosłupem ograniczonym
V
płaszczyznami x = 0, y = 0, z = 0, z = 3 i x + y = 2. Wykonać odpowiedni rysunek.
2. [4p.] a) Stosując całki potrójne obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami
x2 + y2 + z2 = 4 i x2 + y2 = 3z2
znajdującej się wewnątrz tych powierzchni. Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych walcowych.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [4p.] a) Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć całkę
2xydx + xdy
K
gdzie K jest zorientowanym dodatnio brzegiem obszaru określonego nierównościami
x2 + y2 1 oraz y 0. Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Przedstawić (wzór, opis, rysunek) jedno z zastosowań geometrycznych całek
krzywoliniowych skierowanych.
4. [4p.] Uzasadnić, że całka
cos 4ydx - 4x sin 4ydy
L
nie zależy od drogi całkowania. Wyznaczyć jej wartość, gdy łuk L jest dowolnym łukiem
Ą Ą
gładkim skierowanym od punktu A(2, ) do punktu B(1, ).
4 6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [4p.] a) Obliczyć całkę (xz + 1 + 4y)dS, gdzie S jest częścią powierzchni y = x2
S
zawartą między płaszczyznami z = 0, z = 2 i y = 1. Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Zdefiniować i podać przykład gładkiego płata powierzchniowego względem płaszczyzny
XOZ.
y
6. [4p.] Wyznaczyć gradient pola skalarnego F (x, y, z) = z - arctg . Dla otrzymanego pola
x
wektorowego W = grad F wyznaczyć jego dywergencję.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [3p.] Korzystając z twierdzenia Gaussa-Ostrogradzkiego obliczyć całkę
xdydz + ydxdz + zdxdy
S
jeżeli S jest zewnętrzną stroną powierzchni kuli o równaniu x2 + y2 + z2 = a2.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
kol pol sem2 AiR 10kol pol sem2 EiT 10kol pol sem2 IBM 09kol pol sem2 IBM 11kol kon sem2 IBM 09kol pol sem2 AiR 09kol pol sem2 AiR 11kol kon sem2 AiR 10egz pol ETI IBM 10 11kol kon sem2 IBM 11kol pop sem2 IBM 09kol pol sem2 EiT 09kol pol sem2 EiT 11kol zal sem2 ETI IBM 11 2012kol zal algebra ETI IBM 10 11egz pol ETI IBM 09 10kol zal sem2 AiR IBM 12 2013kol zal sem2 AiR IBM 13 2014więcej podobnych podstron