ÿþM i e j s c e
O K E AÓ D y
n a n a k l e j k
C K E
z k o d e m s z k o By
M A R Z E C
M A T E M A T Y K A
R O K 2 0 0 8
P O Z I O M R O Z S Z E R Z O N Y
P R Z Y K AA D O W Y Z E S T A W Z A D A C N R 1
C z a s p r a c y 1 5 0 m i n u t
I n s t r u k c j a d l a z d a j c e g o
1 . S p r a w d z, c z y a r k u s z e g z a m i n a c y j n y z a w i e r a 1 9 s t r o n ( z a d a n i a
1 1 1 ) . E w e n t u a l n y b r a k z g Bo [ p r z e w o d n i c z c e m u z e s p o Bu
n a d z o r u j c e g o e g z a m i n .
2 . R o z w i z a n i a z a d a D i o d p o w i e d z i z a m i e [ w m i e j s c u n a t o
p r z e z n a c z o n y m .
3 . W r o z w i z a n i a c h z a d a D p r z e d s t a w t o k r o z u m o w a n i a
p r o w a d z c y d o o s t a t e c z n e g o w y n i k u .
4 . P i s z c z y t e l n i e . U |y w a j d Bu g o p i s u / p i ó r a t y l k o z c z a r n y m
t u s z e m / a t r a m e n t e m .
5 . N i e u |y w a j k o r e k t o r a , a b Bd n e z a p i s y p r z e k r e [l .
Z a r o z w i z a n i e
6 . P a m i t a j , |e z a p i s y w b r u d n o p i s i e n i e p o d l e g a j o c e n i e .
w s z y s t k i c h z a d a D
7 . O b o k k a |d e g o z a d a n i a p o d a n a j e s t m a k s y m a l n a l i c z b a p u n k t ó w ,
m o |n a o t r z y m a
k t ó r m o |e s z u z y s k a z a j e g o p o p r a w n e r o z w i z a n i e .
Bc z n i e
8 . M o |e s z k o r z y s t a z z e s t a w u w z o r ó w m a t e m a t y c z n y c h , c y r k l a
5 0 p u n k t ó w
i l i n i j k i o r a z k a l k u l a t o r a .
{y c z y m y p o w o d z e n i a !
W y p e Bn i a z d a j c y p r z e d
r o z p o c z c i e m p r a c y
K O D
P E S E L Z D A J C E G O Z D A J C E G O
2 P r z y k Ba d o w y z e s t a w z a d a D n r 1 z m a t e m a t y k i
P o z i o m r o z s z e r z o n y
Z a d a n i e 1 . ( 5 p k t )
P u n k t y A =
( - 2 , 1 2 i B = 6 , - 2 s w i e r z c h o Bk a m i t r ó j k t a p r o s t o k t n e g o A B C o k c i e
) ( )
p r o s t y m p r z y w i e r z c h o Bk u C . O b l i c z w s p ó Br z d n e w i e r z c h o Bk a C t e g o t r ó j k t a , w i e d z c ,
|e l e |y o n n a p r o s t e j o r ó w n a n i u x + 3 y = 2 2 . S p o r z d z r y s u n e k w p r o s t o k t n y m u k Ba d z i e
w s p ó Br z d n y c h . R o z w a | w s z y s t k i e p r z y p a d k i .
P r z y k Ba d o w y z e s t a w z a d a D n r 1 z m a t e m a t y k i 3
P o z i o m r o z s z e r z o n y
N r c z y n n o [c i 1 . 1 . 1 . 2 . 1 . 3 . 1 . 4 . 1 . 5 .
W y p e Bn i a
M a k s . l i c z b a p k t 1 1 1 1 1
e g z a m i n a t o r !
U z y s k a n a l i c z b a p k t
4 P r z y k Ba d o w y z e s t a w z a d a D n r 1 z m a t e m a t y k i
P o z i o m r o z s z e r z o n y
Z a d a n i e 2 . ( 4 p k t )
’!
a
W y k r e s f u n k c j i f ( x ) = d l a x " R \ 0 , g d z i e a `" 0 , p r z e s u n i t o o w e k t o r u = 2
{ } [ - 3 ,
]
x
i o t r z y m a n o w y k r e s f u n k c j i g . D o w y k r e s u f u n k c j i g n a l e |y p u n k t A = ( - 4 , 6 ) .
O b l i c z a , n a s t p n i e r o z w i | n i e r ó w n o [ g x < 4 .
( )
P r z y k Ba d o w y z e s t a w z a d a D n r 1 z m a t e m a t y k i 5
P o z i o m r o z s z e r z o n y
N r c z y n n o [c i 2 . 1 . 2 . 2 . 2 . 3 . 2 . 4 .
W y p e Bn i a
M a k s . l i c z b a p k t 1 1 1 1
e g z a m i n a t o r !
U z y s k a n a l i c z b a p k t
6 P r z y k Ba d o w y z e s t a w z a d a D n r 1 z m a t e m a t y k i
P o z i o m r o z s z e r z o n y
Z a d a n i e 3 . ( 5 p k t )
N a r y s u n k u p r z e d s t a w i o n y j e s t w y k r e s f u n k c j i l o g a r y t m i c z n e j o p i s a n e j w z o r e m f ( x ) = l o g x .
p
a ) N a p o d s t a w i e t e g o w y k r e s u w y z n a c z p .
b ) O b l i c z f 0 , 1 2 5 .
( )
c ) S p o r z d z w y k r e s f u n k c j i g x = f x - 4 .
( ) ( )
d ) P o d a j m i e j s c e z e r o w e f u n k c j i g .
y
7
6
5
4
3
2
1
0
8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 x
4
1
2
3
4
5
6
P r z y k Ba d o w y z e s t a w z a d a D n r 1 z m a t e m a t y k i 7
P o z i o m r o z s z e r z o n y
N r c z y n n o [c i 3 . 1 . 3 . 2 . 3 . 3 . 3 . 4 . 3 . 5 .
W y p e Bn i a
M a k s . l i c z b a p k t 1 1 1 1 1
e g z a m i n a t o r !
U z y s k a n a l i c z b a p k t
8 P r z y k Ba d o w y z e s t a w z a d a D n r 1 z m a t e m a t y k i
P o z i o m r o z s z e r z o n y
Z a d a n i e 4 . ( 6 p k t )
W t r ó j k c i e r ó w n o r a m i e n n y m ( p a t r z r y s u n e k ) d Bu g o [ p o d s t a w y w y n o s i a , z a [ w y s o k o [c i
o p u s z c z o n e o d p o w i e d n i o n a p o d s t a w i r a m i s r ó w n e H i h . K t m i d z y r a m i e n i e m
t r ó j k t a i w y s o k o [c i o p u s z c z o n n a p o d s t a w m a m i a r ±.
a ) W y r a z t g ± w z a l e |n o [c i o d w i e l k o [c i a i H .
b ) W y r a z c o s ± w z a l e |n o [c i o d w i e l k o [c i a i h .
c ) W y k a |, |e j e [l i a 2 = H Å" h , t o s i n ± = 2 - 1 .
±
H
h
a
P r z y k Ba d o w y z e s t a w z a d a D n r 1 z m a t e m a t y k i 9
P o z i o m r o z s z e r z o n y
N r c z y n n o [c i 4 . 1 . 4 . 2 . 4 . 3 . 4 . 4 . 4 . 5 . 4 . 6 .
W y p e Bn i a
M a k s . l i c z b a p k t 1 1 1 1 1 1
e g z a m i n a t o r !
U z y s k a n a l i c z b a p k t
1 0 P r z y k Ba d o w y z e s t a w z a d a D n r 1 z m a t e m a t y k i
P o z i o m r o z s z e r z o n y
Z a d a n i e 5 . ( 4 p k t )
P o l e o b s z a r u o g r a n i c z o n e g o w y k r e s e m f u n k c j i y = x 2 d l a x " 0 , 1 i o s i O x m o |e m y
1
o b l i c z y z d o w o l n d o k Ba d n o [c i , z w i k s z a j c l i c z b n p r o s t o k t ó w o s z e r o k o [c i k a |d y
n
( p a t r z r y s u n e k ) i s u m u j c i c h p o l a .
y
1
0
1
x
a ) P r z e d s t a w i l u s t r a c j g r a f i c z n t a k i e j s y t u a c j i d l a n = 4 i o b l i c z s u m p ó l o t r z y m a n y c h
p r o s t o k t ó w .
y
1
1
x
0
b ) O b l i c z s u m S n p ó l n p r o s t o k t ó w , w y k o r z y s t u j c w z ó r :
n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )
1 2 + 2 2 + 3 2 + . . . + n 2 = .
6
P r z y k Ba d o w y z e s t a w z a d a D n r 1 z m a t e m a t y k i 1 1
P o z i o m r o z s z e r z o n y
N r c z y n n o [c i 5 . 1 . 5 . 2 . 5 . 3 . 5 . 4 .
W y p e Bn i a
M a k s . l i c z b a p k t 1 1 1 1
e g z a m i n a t o r !
U z y s k a n a l i c z b a p k t
1 2 P r z y k Ba d o w y z e s t a w z a d a D n r 1 z m a t e m a t y k i
P o z i o m r o z s z e r z o n y
Z a d a n i e 6 . ( 3 p k t )
W y k a |, |e w i e l o m i a n W x = x 4 - 2 x 3 + 2 x 2 - 6 x + 9 n i e m a p i e r w i a s t k ó w r z e c z y w i s t y c h .
( )
N r c z y n n o [c i 6 . 1 . 6 . 2 . 6 . 3 .
W y p e Bn i a
M a k s . l i c z b a p k t 1 1 1
e g z a m i n a t o r !
U z y s k a n a l i c z b a p k t
P r z y k Ba d o w y z e s t a w z a d a D n r 1 z m a t e m a t y k i 1 3
P o z i o m r o z s z e r z o n y
Z a d a n i e 7 . ( 6 p k t )
D a n a j e s t f u n k c j a f ( x ) = s i n 2 x + c o s x d l a x " R .
a ) R o z w i | r ó w n a n i e f ( x ) = 1 w p r z e d z i a l e 0 , 2 À .
b ) W y z n a c z n a j w i k s z w a r t o [ f u n k c j i f .
N r c z y n n o [c i 7 . 1 . 7 . 2 . 7 . 3 . 7 . 4 . 7 . 5 . 7 . 6 .
W y p e Bn i a
M a k s . l i c z b a p k t 1 1 1 1 1 1
e g z a m i n a t o r !
U z y s k a n a l i c z b a p k t
1 4 P r z y k Ba d o w y z e s t a w z a d a D n r 1 z m a t e m a t y k i
P o z i o m r o z s z e r z o n y
Z a d a n i e 8 . ( 5 p k t )
P o d s t a w o s t r o s Bu p a A B C D j e s t t r ó j k t r ó w n o b o c z n y A B C o b o k u d Bu g o [c i 2 . W s z y s t k i e
[c i a n y b o c z n e s r ó w n o r a m i e n n y m i t r ó j k t a m i p r o s t o k t n y m i . P u n k t P z o s t a B w y b r a n y
w e w n t r z o s t r o s Bu p a w t e n s p o s ó b , |e w y s o k o [c i o s t r o s Bu p ó w A B D P , B C D P , A C D P , A B C P
o p u s z c z o n e z w i e r z c h o Bk a P m a j t s a m d Bu g o [ H . S p o r z d z r y s u n e k o s t r o s Bu p a i o b l i c z H .
P r z y k Ba d o w y z e s t a w z a d a D n r 1 z m a t e m a t y k i 1 5
P o z i o m r o z s z e r z o n y
N r c z y n n o [c i 8 . 1 . 8 . 2 . 8 . 3 . 8 . 4 . 8 . 5 .
W y p e Bn i a
M a k s . l i c z b a p k t 1 1 1 1 1
e g z a m i n a t o r !
U z y s k a n a l i c z b a p k t
1 6 P r z y k Ba d o w y z e s t a w z a d a D n r 1 z m a t e m a t y k i
P o z i o m r o z s z e r z o n y
Z a d a n i e 9 . ( 4 p k t )
G r u p a 4 k o b i e t i 4 m |c z y z n , w t y m j e d n o m a B|e Ds t w o , w y b r a Ba s i n a p i e s z w y c i e c z k . N a
w s k i e j [c i e |c e m u s i e l i i [ g s i e g o t z n . j e d n o z a d r u g i m . Z a k Ba d a m y , |e w s z y s t k i e m o |l i w e
u s t a w i e n i a t y c h o s ó b s j e d n a k o w o p r a w d o p o d o b n e . O b l i c z p r a w d o p o d o b i e Ds t w o z d a r z e n i a ,
|e j a k o p i e r w s z e p ó j d k o b i e t y i |o n a b d z i e s z Ba b e z p o [r e d n i o p r z e d m |e m . S p r a w d z, c z y
t o p r a w d o p o d o b i e Ds t w o j e s t m n i e j s z e o d 0 , 0 0 1 .
N r c z y n n o [c i 9 . 1 . 9 . 2 . 9 . 3 . 9 . 4 .
W y p e Bn i a
M a k s . l i c z b a p k t 1 1 1 1
e g z a m i n a t o r !
U z y s k a n a l i c z b a p k t
P r z y k Ba d o w y z e s t a w z a d a D n r 1 z m a t e m a t y k i 1 7
P o z i o m r o z s z e r z o n y
Z a d a n i e 1 0 . ( 3 p k t )
D a n y j e s t c i g x n = - 1 - n d l a n e" 1 . C i g ( y n ) m a t w Ba s n o [, |e d l a k a |d e g o n e" 1 p u n k t y
o w s p ó Br z d n y c h ( x n , 0 ) ,
( - 1 , 1 , ( 0 , y n ) l e | n a j e d n e j p r o s t e j . W y z n a c z w z ó r o g ó l n y
)
c i g u ( y n ) .
N r c z y n n o [c i 1 0 . 1 . 1 0 . 2 . 1 0 . 3 .
W y p e Bn i a
M a k s . l i c z b a p k t 1 1 1
e g z a m i n a t o r !
U z y s k a n a l i c z b a p k t
1 8 P r z y k Ba d o w y z e s t a w z a d a D n r 1 z m a t e m a t y k i
P o z i o m r o z s z e r z o n y
Z a d a n i e 1 1 . ( 5 p k t )
D Bu g o [c i b o k ó w t r ó j k t a p r o s t o k t n e g o s t r z e m a k o l e j n y m i w y r a z a m i r o s n c e g o c i g u
g e o m e t r y c z n e g o . O b l i c z i l o r a z t e g o c i g u .
N r c z y n n o [c i 1 1 . 1 . 1 1 . 2 . 1 1 . 3 . 1 1 . 4 . 1 1 . 5 .
W y p e Bn i a
M a k s . l i c z b a p k t 1 1 1 1 1
e g z a m i n a t o r !
U z y s k a n a l i c z b a p k t
P r z y k Ba d o w y z e s t a w z a d a D n r 1 z m a t e m a t y k i 1 9
P o z i o m r o z s z e r z o n y
B R U D N O P I S
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