LAK - ćwiczenia nr 4
1. Całkowanie numeryczne
1.1. Uwagi wstępne
Ogólnie mówiąc metoda kwadratur obliczania całek oznaczonych
Ć
b
f(x)dx (1)
a
polega na zastąpieniu w przedziale całkowania [a, b] funkcji podcałkowej f(x)
funkcją aproksymującą lub interpolującą F (x) i przyjęciu równości
Ć Ć
b b
f(x)dx = F (x)dx + RF (x)
a a
gdzie RF (x) oznacza błąd metody całkowania.
1.2. Zmiana granic całkowania na przedział [0, 1]
Całkę (1) można doprowadzić do postaci, w której granice całkowania są znor-
x-a
malizowane. Prosta zamiana zmiennych x t = prowadzi do zmiany
b-a
granic całkowania z przedziału [a, b] na [0, 1]:
Ć Ć
b 1
f(x)dx = (b - a) f (a + (b - a) t) dt . (2)
a 0
1.3. Zmiana granic całkowania na przedział [-1, 1]
x-a
Zamiana zmiennych x t = -1+2· prowadzi do zmiany granic caÅ‚kowania
b-a
z przedziału [a, b] na [-1, 1]:
Ć Ć
b 1
b - a b + a b - a
f(x)dx = f + t dt . (3)
2 2 2
a -1
Wzór (3) jest przydatny szczególnie przy obliczaniu wartości całki metodą opartą
na wykorzystaniu ortogonalnych wielomianów Legendre a, z uwagi na fakt, iż
wszystkie pierwiastki tych wielomianów znajdują się właśnie w przedziale (-1, 1).
1
1.4. Metoda prostokÄ…tow
Dla przedziału całkowania [a, b] = [0, 1] definiujemy równomierny podział od-
cinka przy pomocy punktów tworzących wektor x = [0, 1/n, 2/n, ..., 1] czyli taki,
że xi = i/n, i = 0, 1, ...n Następnie przybliżamy całkę sumą:
Ć
n
1
1
f(x) dx H" f(xi) (4)
n
0
i=1
Odpowiada to sumie pól prostokątów o wysokościach równych wartości funkcji
w prawym końcu przedziału [xi-1, xi] i podstawie 1/n. Zauważ, że nie wyko-
rzystaliśmy wszystkich punktów xi, których jest n + 1.
1.5. Metoda trapezów
Wykorzystujemy ponownie ten sam podział odcinka. Tym razem całkę przy-
bliżamy sumą
Ć
n
1
1 f(xi-1) + f(xi)
f(x) dx H" (5)
n 2
0
i=1
Wyrażenia pod znakiem sumy interpretuje się jako pola trapezów o podstawach
f(xi-1), f(xi) i wysokosci 1/n.
1.6. Metoda Monte-Carlo
W tej alternatywnej względem poprzednich metodzie obliczania wartości całki
losujemy n liczb xi z przedziału [0, 1] o rozkładzie równomiernym, a następ-
nie liczymy wartości f(xi) funkcji dla tych argumentów. Kolejnym krokiem
jest obliczenie wartości średniej z tak policzonych wartości funkcji. Ta średnia
stanowi oszacowanie całki.
1.7. Kwadratury Gaussa Legendre a (materiał nieobowiązkowy)
Kwadraturą Gaussa-Legendre a nazywamy kwadraturę o maksymalnym rzędzie
przy ustalonej liczbie węzłów. Węzły nie są równoodległe (generalnie jest to za-
leta, gdyż można np. całkować numerycznie w przedziałach nieograniczonych).
Do kwadratur Gaussa-Legendre a używa się wielomianów ortogonalnych
Legendre a (więcej informacji na temat wielomianów Legendre a znajdziesz
w dodatkowym pliku).
Ogólny wzór na numeryczne obliczanie całek metodą kwadratur jest postaci
sumy:
Ć
n
1
f(x)dx H" wi f(xi) . (6)
-1
i=1
Można pokazać, że szczególnie dobre wyniki otrzymuje się dla klasy metod, dla
której xi to zbiór pierwiastków n-tego wielomianu Legendre a Pn(x), a wagi wi
dane sÄ… wzorem:
2
wi = . (7)
(1 - x2) [Pn(xi)]2
i
2
Zadania
Zadanie 1
Napisz funkcje do obliczania wartości całek metodami:
 prostokątów
 trapezów
 Monte-Carlo
 Gaussa-Legendre a (tylko dla chętnych)
Oblicz wartości następujących całek:
´
1
 C1 = x3 + x6 dx
0
11
(dokładny wynik: C1 = 0.392857)
28
´
1
1
 C2 = dx
-1 1+(x-0.5)2
3 1
(dokładny wynik: C2 = arctan + arctan 1.44644)
2 2
Wskazówka: W ogólnym przypadku, dla przedziału całkowania x " [a, b], zgod-
nie ze wzorem (3), otrzymujemy wzór na oszacowanie wartości całki:
Ć
n
b
b - a b + a b - a
f(x)dx H" · f + ti . (8)
2 2 2
a
i=1
Zadanie 2
Zbadaj, jak zmienia się błąd R każdej z metod wraz ze wzrostem liczby węzłów
n.
3


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
LAK cwicz4 dodatek
cwicz4 ZAD1k
LAK instrukcje
LAK cwicz2
Grafika cwicz4
cwicz4
LAK cwicz5 (1)
LAK materiały
LAK instrukcje cwicz6
LAK cwicz7
Konspekt LAK 13 2014
Instrukcja BHP przy obsłudze oklejarki typ LAK
Ćwicz4ME

więcej podobnych podstron