Własności sprężyste ciał rzeczywistych
(stałych)
" nie ma ciał idealnie sztywnych odkształcenia
F
" odkształcenia skutkiem naprężeń
=
S
[] = 1 /m2
"
" uogólnione odkształcenie względne:
Własności sprężyste ciał stałych
cd.
F
obszar
plastyczności
granica odkształceń
sprężystych
granica
F = k x
liniowości
x
"
"
"
"
odkształcenie jest proporcjonalne do
~
Prawo Hooke a:
naprężenia (do granicy liniowości!)
Własności sprężyste ciał
Własności sprężyste ciał
c.d.
c.d.
Ilościowo opisują je moduły sprężystości:
"l
"
"
"
E = =
= =
= =
= =
- Younga (rozciąganie, ściskanie)
l
- sztywności poprzecznej
"
"
"
"
(skręcanie, ścinanie)
=
G =
=
=
- sprężystości objętościowej
"V
"
"
(ściśliwości) "
B = - p
= -
= -
= -
V
E G B
1010 [N/m2]
Aluminium 7,0 2,5 7,0
Miedz 11 4,2 14
Stal 20 8,4 16
Szkło 6,5-7,8 2,6-3,2 5,0-5,5
Woda - - 0,21
Drgania
Opis ilościowy drgań
Równanie różniczkowe liniowe II rzędu
niejednorodne
" Uproszczenia
" Oscylator harmoniczny/ Ruch
harmoniczny prosty
" Energia w ruchu harmonicznym
" Drgania tłumione
" Drgania wymuszone, rezonans
Drgania cd.
Opis ilościowy drgań
Równanie różniczkowe liniowe II rzędu niejednorodne
m - masa, b - współczynnik tłumienia
mx + bx + kx = Fw( t )
k - stała sprężystości, Fm - wymuszenie (siła)
x<0
Fw
F=ma
FS=-kx
m
gdy
Fw = 0 i b = 0
x
Fb=-bv
0
ruch harmoniczny prosty
2 2
d x d x
F = -kx F = ma = m ! - kx = m
2 2
dt dt
2
d x
m + kx = 0
Szukamy rozwiązania tego równania
2
dt
Ruch harmoniczny prosty
rozwiązanie równania (odgadujemy)
Ó!
typu: m x + kx = 0 !
x = A cos ( t + )
x = - A sin(t + )
2
x = - A cos(t + )
- przesunięcie fazowe
Sprawdzamy:
t+ - faza ruchu - kąt
m x + kx = 0
2
- m A cos ( t + )+ k A cos ( t + ) = 0
k 2Ą m
2 2
m = k;! = ! T = = 2Ą
m k
Ruch harmoniczny prosty, c.d.
Ruch harmoniczny prosty, c.d.
1
x
+
+
+
+
( )
x = A cos(t + )
= ( )
= ( +
= + )
+
0
.
2Ą
4Ą
6Ą
t
ł ł
ł ł
ł ł
ł
x = Acosł2Ą +
= Ą +
= Ą +
= Ą +
-1
ł ł
ł ł
ł ł
ł ł
T
ł łł
ł łł
ł łł
ł łł
> 0
1
x
t
0
.
T
2T 3T
-1
Liczby urojone nie są nierzeczywiste !
mx''+bx'+kx = 0
+ + =
+ + =
+ + =
mAr2 exp(rt) + bArexp(rt) + kAexp(rt) = 0
+ + =
+ + =
+ + =
x = Aexp(rt) x'= Arexp(rt) x''Ar2 exp(rt)
= =
= = b k b2 4k
= =
mr2 + br + k = 0 r2 + r + = 0 " = -
+ + = + + = = -
+ + = + + = = -
+ + = + + = = -
m m m
m2
x = A1 exp(r1t) + A2 exp(r2t) rozwiazaniem
- b b2 4k
" > 0 r = ą - liczba rzeczywista
zwykle funkcje wykladnicze
2m m2 m
- b b2 4k
" < 0 r = ą j - liczba zespolona
2m m2 m
k k
dla b = 0 r1 = -j r2 = j (urojone )
m m
k k A k
x = A[exp(-j t) + exp( j )] = cos( t)
m m 2 m
postac trygonomet ryczna funkcji zespolonej
Drgania tłumione
" b > 0
dx
A
Ft = -b = -bx
dt
bt
-
-
-
-
x
2m
e
mx + bx + kx = 0
bt
-
2m
0
x = Ae cos('t + )
dla : k m > (b 2m)2
2
k b
ł ł
( )
( )
('t + )
( +
+ )
+
'= -
ł ł
-A
m 2m
ł łł
Drgania wymuszone, rezonans
Ogólnie wymuszenie Fw(t) `" t) !
`"Acos(
`"
`"
" siła wymuszająca o częstości &! :
Fw = Fm cos( &! t )
mx + bx + kx = Fm cos( &! t )
" rozwiązanie tego równania ma postać:
Fm
2 2 2
x = sin(&! t -ą) ł = m2( &! - )2 + b2&!
ł
b&!
ą = arccos
ł
Fm Fm k
A = =
2
2
ł
( )
2 &!2 - 2 + (b&!)
Drgania wymuszone, rezonans cd.
A
b=0,2m
- częstotliwość drgań Fm
4
k
własnych układu bez
tłumienia Fm
3
k
&! = - częstotliwość
rezonansowa
Fm
2
k
b=m
Fm
k
&!
&!
&!
&!
0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
Energia w ruchu harmonicznym
Ek Ep
kA2/2
prosty oscylator harmoniczny
E
- układ zachowawczy
t
Ą 2Ą 3Ą
0
1 1 1
2
Ek = mv2 = m[- Asin(t + )] = mA22 sin2(t + )
2 2 2
1 1 1
2
Ep = kx2 = k[Acos(t + )] = kA2 cos2(t + )
2 2 2
1 k
2 =k mEk = mA2 sin2(t + )
2 m
1
E =Ek +Ep = kA2[sin2(t + ) + cos2(t + )]
2
1
E = kA2
2
Przykład
" wahadło torsyjne (skrętne)
M = I = - (pr.Hooka )
2
d
I = I = -
2
dt
I + = 0
= cos( t + )
m
T = 2Ą I
Ą
Ą
Ą
Dudnienia
/ilustracja/
drgania składowe:
y
t
Td
i ich suma obserwowana w czasie 8 Td
ńd
Dudnienia cd.
jest to superpozycja
ym1 = ym2 = ym f1 - f2 ="f << f1, f2 H" f
drgań o parametrach:
t.j. :
y = y1 + y2 = ym [cos(2Ąf1t)+ cos(2Ąf2t)]
f1 + f2 f1 - f2
drganie
y = 2ym cosł2Ą tłcosł2Ą tł
ł ł ł ł
wypadkowe:
2 2
ł łł ł łł
f1 + f f1 - f
2 2
częstotliwość fd
f H" , f =
d
modulacji amplitudy:
2 2
Krzywe Lissajous
Powstają w wyniku superpozycji drgań o kierunkach prostopadłych
drgania wzdłuż obu
y
osi jednakowe:
(x)=2
(y)
(x)=
(y)
A(x)=A(y)
A(x)=3.5A(y)
(x)=
(y)
ą(x)=0
ą
ą
ą
A(x)= A(y)
ą(x)=0 ą
ą
(x)= ą ą(y)=Ą/2
ą
(y) ą ą
A(x)= A(y)
ą(x)=0
ą
ą
ą
ą(y)=Ą/2
ą
ą
ą
ą(x)=ą
ą ą
ą ą(y)=0
ą ą
ą(y)=Ą/2
ą
ą
ą
x
A(x)=A(y)
(x)=3/2 (x)=4/3 (x)=10/9
(y) (y) (y)
ą(x)=0
ą
ą
ą
(x)=3/2
(y)
ą(y)=Ą/9
ą
ą
ą
ą(x)=0 ą
ą ą
ą ą(y)=Ą/2
ą ą
ą(x)=0 ą(y)=0
ą
ą
ą
ą
ą
ą
ą(x)=0 ą
ą ą
ą ą(y)=Ą/2
ą ą
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
BD W8Logika W8 zadaniaw8w8 kratownice 08w8 (2)w8 7w8 zaoczst TPK w7 w8 14w8 powierzchnie topograficzneW8 Hy Nauki o Ziemi Ustroje rzekw8w8 4w8 mech zebate 09 v5W8 wplyw spoleczny wwwW8 3therawchef com the raw chef Vanilla Cheesecakehih w8Omg Luz De Techo Del w8 Seat LeonDz U 06?W8 Samodz funkcje techn w budownwięcej podobnych podstron