Przykład 9.3. Wyboczenie układu belka-słup
Wyznaczyć wartość krytyczną siły
P
P obciążającej głowicę słupa. Słup
jest częścią układu ramowego,
C
którego drugim elementem jest
belka pozioma. Węzeł słup-belka
jest sztywny. Oznacza to, że obrót
Es, Js
przekroju belki położonego
nieskończenie blisko węzła jest
H
równy obrotowi przekroju słupa
sąsiadującego z tym węzłem.
Fundament pod węzłem jest
niepodatny, podpora B belki jest
Eb, Jb
niepodatna, przesuwna. Przyjąć
A
wysokość słupa H, długość belki L.
B
Moduły bezwładności przekrojów
słupa i belki wynoszą odpowiednio
L
Js i Jb zaś moduły Younga
materiałów - Es i Eb. W
płaszczyz
nie prostopadłej do
Rysunek 1. Schematy statyczne układu belka-
rysunku słup i belka są usztywnione
słup.
ścianą i stropem.
1. Kinematycznie dopuszczalna (zgodna z więzami) postać odkształcona analizowanej
struktury:
f Pkr f Pkr
f-y(x)
C C
Część ą
yÄ…(x)
xÄ…
T(x)
xÄ… M(x)
N(x)
Część ²
yÄ…
x²
A x² A
M(x)
B B
HA
y²(x)
VA VB VA=Pkr(1-f/L)
VB=Pkrf/L
y²
Rysunek 2. Postać przyjętej deformacji zgodnej z więzami (cześć lewa); Ilustracja zapisu
równowagi fragmentu Ä… osi ugiÄ™tej sÅ‚upa oraz fragmentu ² (osi ugiÄ™tej belki) (część prawa);
2. Równania równowagi dla dowolnego, odkształconego fragmentu struktury:
Reakcje obliczymy biorąc pod uwagę sumę momentów względem punktu A dla odkształconej
ramy wyobrażonej na Rys. 2:
VBL=Pkrf => VB=Pkrf/L
Reakcja w podporze A nie będzie potrzebna w dalszych obliczeniach. Z sumy rzutów na oś
poziomą zauważamy, że jej składowa pozioma jest równa zeru zaś z sumy rzutów sił na oś
pionową wynika wartość VA podana na Rys. 2.
Wobec tego, że w ramie wyróżnia się dwa jakościowo różne fragmenty, w których równania
momentów zginających jako funkcji x są różne, należy rozpatrzyć dwa przypadki w zapisie
warunków równowagi. Pierwszy z tych fragmentów to słup, drugi to belka. Zauważmy, że
siła osiowa występuje tylko w słupie. Belka poddana jest tylko zginaniu, zależnemu jednak od
siły krytycznej.
2.a. Dla części ą (słup):
M (x)+ Pkr(f - yÄ…(x))= 0 => M (x)=Pkr(yÄ…(x)- f )
2
ponieważ: M (x) = -yą2
(x)EsJs otrzymuje się równanie różniczkowe dla osi ugiętej:
2
(x)EsJs =Pkr(f - yÄ… (x)) => yÄ…2
=> yÄ…2 2
(x)EsJs +Pkr yÄ…(x) = Pkr f =>
2
yÄ…2
(x)+k2yÄ…(x)=k2 f (1)
oznaczono tu (jak zwykle w zagadnieniach wyboczenia)
Pkr
k2 = (2)
EsJs
Rozwiązanie równania (1) jest postaci:
yÄ…(x)= Acos(kx)+ Bsin(kx)+ yszcz(x)
ponieważ yszcz(x)= f wiec ostatecznie:
yÄ…(x)= Acos(kx)+ Bsin(kx)+ f (3)
2.b. Dla części ² (belka):
Moment zapisać można (dla części prawej belki  patrz rysunek 2.) następująco:
M (x)=Pkr f (L- x) (4)
L
Pkr f Pkr
2 2 2 2
=> EbJb y² (x)=-Pkr f (L- x) => y² (x)= x- f =>
L EbJb L EbJb
Otrzymane równanie różniczkowe zawiera tylko druga pochodną linii ugięcia wobec tego
rozwiązuje się je przez bezpośrednie całkowanie:
Pkr x3 Pkr x2
f
y² (x)= - f +Cx+ D (5)
EbJb L 6 EbJb 2
Zauważmy, że całkowanie równania (4) odbyło się tak jak dla belki zginanej, bez wpływu siły
osiowej na ugięcie (Pkr pojawia się tu jako składnik reakcji podpory, jest siłą poprzeczną).
Możemy obliczyć, stałe całkowania C i D, stawiając warunki, które linia ugięcia belki
powinna spełnić:
UgiÄ™cie na podporze A równe zeru => y² (x=0)=0 => D=0
2
Pkr
1
UgiÄ™cie na podporze B równe zeru => y² (x=L)=0 => C = fL
3 EbJb
W równaniu (6) występuje teraz jedynie parametr geometryczny f oraz siła krytyczna:
Pkr ëÅ‚ f öÅ‚
x3 x2 x
y² (x)= (6)
ìÅ‚ - f + fL ÷Å‚
EbJb íÅ‚ L 6 2 3
Å‚Å‚
3. Zapisanie układu równań dla obliczenia stałych A, B, f
Dwa warunki brzegowe dla słupa i warunek zszycia kąta obrotu przekrojów słupa i belki w
punkcie A pozwalają napisać trzy równania z trzema niewiadomymi stałymi A, B, f:
Ugięcie osi słupa w punkcie A jest równe zeru:
yÄ…(x=0)=0 => A+ f =0
Ugięcie osi słupa w punkcie C jest równe przyjętemu parametrowi f:
yÄ…(x=H)= f => Acos(kH)+ Bsin(kH)=0
Kąty obrotu przekrojów słupa i belki w punkcie A są równe:
2 2
y²(x=0)= yÄ…(x=0) (7)
Ponieważ:
Pkr ëÅ‚ f fL öÅ‚
x2
2 2
yÄ…(x)=-Ak sin(kx)+ Bk cos(kx); zaÅ› y² (x)= (8)
ìÅ‚ - fx+ ,
÷Å‚
EbJb íÅ‚ L 2 3
Å‚Å‚
z (7) i (8) wynika równanie:
Pkr fL EsJs
=Bk => k2 fL =Bk (9)
EbJb 3 EbJb 3
W równaniu (9) wyrażono Pkr poprzez k (podstawienie (2))
Po uporządkowaniu otrzymujemy układ równań jednorodnych:
îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 1
ïÅ‚ śłńłAüÅ‚ Å„Å‚0üÅ‚
ïÅ‚coskH sin kH 0 śłôÅ‚BôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚
(10)
òÅ‚ żł=òÅ‚0żł
ïÅ‚
EsJsLśłôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚0ôÅ‚
0 -k k2 f
ïÅ‚ śłół
3EbJb śł þÅ‚ ół þÅ‚
ïÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
Rozwiązanie A=0, B=0 i f=0 możliwe jest zawsze i odpowiada ściskaniu osiowemu słupa.
Rozwiązanie niezerowe możliwe jest tylko dla takiej wartości parametru k, dla której
wyznacznik główny układu równań (10) jest równy zeru.
4. Zapisanie wyznacznika układu równań i obliczenie siły krytycznej
Posługując się dowolną metodą obliczamy wyznacznik główny układu (10):
EsJsL
D=k2 sin kH -k coskH (11)
3EbJb
Warunek D=0 prowadzi do równania przestępnego:
EsJsL
k =ctgkH (12)
3EbJb
podstawiajÄ…c: kH=z otrzymujemy:
EsJs L
z =ctg(z) (13)
3EbJb H
3
Rozwiązanie można odczytać z wykresu pokazanego na rysunku (punkt przecięcia prostej i
cotangensoidy):
EsJs L
tgł =
3EbJb H
Å‚
/2
z
z0
Rysunek 3. Graficzny sposób wyznaczenia miejsca zerowego wyznacznika głównego układu
równań (10). Rysunek ten pozwala również zrozumieć jak zmienia się jakościowo Pkr w
zależności od proporcji parametrów charakteryzujących belkę i słup.
Dla szczególnego przypadku, gdy słup i belka wykonane są z tego samego materiału, mają
identyczny przekrój zaś L=H, otrzymuje się następujący wykres:
Rysunek 4. Graficzny wyznaczenie miejsca zerowego wyznacznika głównego układu równań () dla
szczególnych wartości parametrów fizycznych belki i słupa. Prawy wykres jest powiększeniem odpowiedniego
fragmentu wykresu umieszczonego po lewej stronie. Wykresy te otrzymano przy pomocy programu MAPLE
jednak można użyć dowolnego innego narzędzia numerycznego dla ich uzyskania.
z wykresu na rysunku 4b odczytano z0=1.19. StÄ…d:
2
2
Pkr EsJs
(1.19)
kH=1.19 => =ëÅ‚1.19 öÅ‚ Pkr = EsJs =1.461 (14)
ìÅ‚ ÷Å‚
2
EsJs íÅ‚ H Å‚Å‚ H
Zauważmy, ze obliczona siła krytyczna jest mniejsza niż dla wspornika o wysokości H i
sztywności EsJs. Z wzoru na wyznacznik widać, że jeśli sztywność belki jest wielokrotnie
większa niż sztywność słupa, siła krytyczna zbliża się do siły krytycznej dla pręta
wspornikowego i osiąga ją w granicy, gdy EsJs/EbJb dąży do zera.
Poleca się wykonać samodzielnie sprawdzenie takie, jak w zadaniu 1 i 2.
4


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Analiza Matematyczna 2 Zadania
ZARZÄ„DZANIE FINANSAMI cwiczenia zadania rozwiazaneE
ZADANIE (11)
zadanie domowe zestaw
Zadania 1
W 4 zadanie wartswa 2013
Sprawdzian 5 kl 2 matematyka zadania
zadania1
Zadania 2015 9
Logika W8 zadania
Logika troch teorii zadania
06 Zadania z rozwiÄ…zaniamiidd47
zadania4
zadania 1 5 10

więcej podobnych podstron