§ 2. Funkcje uwikłane

413

Z lewych stron tych równań tworzymy wyznacznik

(-l)"

D(F₁,F₂, ■■■, f„)

D(x₁,x₂, ...,x_n) ‘

Wyznacznik utworzony z prawych stron jest oczywiście równy iloczynowi wyznaczni

ków

(patrz ustęp 203 (3)). Otrzymujemy stąd wzór

D(yi, y₂, - , y„)

D(x₁,x₂, ..., x„)

D(Fi, F₂, ..., F„)    .

0{y_i,y₂,

analogiczny do wzoru (15).

Gdy dane równania są rozwiązane względem Xi, x₂, ..., x_B:

x>=<Pi(yi,y₂, y_n)    0=1,2,

to przyjmując F_i = <p_i—x_i sprowadzamy ten przypadek do poprzedniego. Ponieważ tutaj pochodne dF_tjdx_} są równe -1 lub 0 zależnie od tego, czy i = j, czy i /j, licznik ułamka z prawej strony wyprowadzonego wzoru sprowadza się do wyznacznika

D(y_l,y₂, ...,y„)

Wynik ten jest nam już znany [203, (4)].

§ 3. Niektóre zastosowania teorii funkcji uwikłanych

211. Ekstrema warunkowe. Rozpatrzymy zagadnienie ekstremum funkcji n + m zmiennych /(xj, x₂, ..., x_B+BI) przy założeniu, że zmienne te spełniają jeszcze warunki dodatkowe mające postać m równań

(1)    <Pi(xi,x₂, ...,x_B,x,_{+ 1}, ...,x„_+m)=0 (i = 1,2, ..., m).

Uściślimy pojęcie takiego ekstremum warunkowego i pokażemy sposoby znalezienia go.