124 125 (3)

124 **r*rx''*WMŁS Przestrzenie euklidesowe

^a) Mimy (t’i > Va) - 0, | tj | = \/20, | i.*21 = y/45. Jest to więc baza ortogonalna przestrzeni E*. a współrzędne [oi, a?] wektora u w lej bazie wyrażają się wzorami

A. — _    _ (**» *3) _ 12 _ 4

20 ID’ ~ |v₂1² - 45 “ Ts

b) Zachodzą związki (5_X, 63) = (*,, *3) = (t5_2: v₃) = 0. Ponadto |v,| = \ v₂ \ = | £31 = 1

Rozważana baza jest zatem ortonormalna Współrzędne (^i,    wektora ti w tej bazie

są równe

₌    P3) ₌ l ₌ O ~ ₌    P«) _ 0

ip₃r 1    *    ⁴ i_P4r *

Sprawdzimy jeszcze, ze rzeczywiście x² - x + 1 = i • 2 - 3 (r — r²) + 2 fz + 2z²) .

• Przykład 13.2

j~2    [2    (~2

Sprawdzić, że funkcje y — sin 2ar, y — $in4z. y — sinor, ... tw^rorzą nieskończony układ ortonormalny w przestrzeni euklidesowej wszystkich rzeczywistych funkcji ciągłych na przedziale [—    — J z iloczynem skalarnym określonym wzorem

a

(/,!?) = J Ąt)g(x)dz.

Rozwiązanie

Obliczmy najpierw normy wszystkich podanych funkcji Dla n € N mamy

*

/7.

1.

Tizynasty tydzień - przykłady

Ortogonalność wszystkich par funkcji z podanego zbioru wynika z tego, ze dla dowolnych m,n £ A' takich, że n rn zachodzi zależność

= (0 - 0) - (0 - 0) = 0.

Uzyskane wyniki potwierdzają więc ortonorir.alność danego zbioru funkcji.

• Przykład 13.3

Stosując metodę Grama Schmidta zortogonalizować podane wektory zc wskaza nych przestrzeni euklidesowych:

a) Sj = (1, -2,0), U2 = (5, 5,1), u₃ = (5,4,4) w przestrzeni E'\

b) ii i = (1,0,1,0). tt2 — (0,2,2,0), U3 = (0,1,0 1) w przestrzeni E^A\

c)    p, = 1, p₂ x, p₃ = z² w przestrzeni i?₂[^] z iloczynem skalarnym określonym wzorem

(p. <i) = p(-i)^(-i) + P(0)«(0) + p0)?U)

Rozwiązanie

OrtogonaJizacja Grarna Schmidta liniowo niezależnych wektorów iii, u₂. . u„ w przestrzeni euklidesowej E polega na wyznaczeniu takich wektorów ortogonalnych tj_a, v_2} . ., v_n, aby układy wektorów {, £2, -.., Uk) eraz {vy, ?2, • • •, &’*} generowały te same przestrzenie dla k = 1,2,... n.

a) Dokonamy bezpośredniej konstrukcji wektorów th, v_2t metodą Grama-Schmidta. Przyjmijmy na początku, że 3] = 5} = (1,—2,0). Warunek generowania identycznych przestrzeń: przez wektory ii] i {i; jest oczywiście spełniony. Równość

lin { ui. i₂} = lin { Vj, v₂ }

będzie zagwarantowana, gdy wektor v₂ będzie postaci

v₂ — u 2 4- a t5j = (5 + d 5 — 2a, 1), gdzie a £ R.

Współczynnik a obliczamy z warunku ortogonalności v₂ -L V\. Mamy

(«i, %) = (5 + a) • 1 + (5 - 2«) - (-2) + 1 0 = -5 + 5a = 0.

Stąd a = 1 i v₂ = (6,3, 1). Wektor £3 wyznaczamy z warunku

V3 = U3 + bvi -t- c v₂ — (5 + b 4 6c, 4 — 26 4- 3c, 4 -f c), gdzie b,c £ R,

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
124 125 (3) 124Przestrzenie euklidesowe a)    Mamy (t i, $3) = 0,
12451 P8022917 59 l 125 2 S 10 11 12 13 14 15 10 17 18 19 20 21 22 23 3 lUwigma
DSC00154 (21) •2 i jest to: ittrza w wentylowanej przestrzeni^ zastosowaniem nawiewników i wywiewnik
page0134 124 cznych zjawisk, i przestawszy hyć sam cudemr przyczyni się do wyjaśnienia jaki nam
DSC07353 124 Geometria analityczna w przestrzeni Przechodzimy teraz do równania parametrycznego plaa
116 117 (4) 116 Przestrzenie euklidcsowe 3. (aź, y) = 3 (azij y; - 2(crn ) y2 - 2(q X2}»i +4 {orz2)y
118 119 (4) - -Przestrzenie euklidesowe MU • — * a)    (P.«) = p(-1)9(-1) + P(2)ł(2);
132 133 (3) 132    Przestrzenie euklidesowwę f) / = ł w przestrzeni lin {1 ,sin z, si
Rachunek różniczkowy odwzorowań określonych i o wartościach w przestrzeniach euklidesowych. Pochodne
118 119 (4) 118    Przestrzenie euklidesowo a)    (P. Q) = P(-l)d(-l)
120 121 (3) 120 37f HlufliTfflą SSjSrrtiTr*ńi Przestrzenie euklidesowe Zatem cos iaz + 6,sin z
130 131 (3) 130 Przestrzenie euklidesowe b) Niech {ej. 52,^3, e^} będzie bazą standardową przestrzen
134 135 (3) 134 Przestrzenie euklidesowoOdpowiedzi i wskazówki 13.1 a) d) 231 / —V 10 V 10 ; e) [5,2
Zajmiemy się wyłącznie przestrzenią euklidesową, opisaną za pomocą współrzędnych

więcej podobnych podstron