12 (11)

Biblioteczka Opracowań Matematycznych

(1.24) {_x-aY nazywamy ułamkiem prostym pierwszego rodzaju.

Funkcję wymiemąjednej zmiennej postaci:

Ax + B

(1.25) / _;+^_x+y nazywamy ułamkiem prostym drugiego rodzaju.

b/ ułamek podcałkowy jest niewłaściwy, wówczas należy wyłączyć wyraże--nie całkowite poprzez wykonanie dzielenia wielomianów. Resztę z tego dzielenia należy zapisać w postaci ułamka właściwego i postąpić jw. c/ licznik ułamka podcałkowego jest pochodną mianownika tego ułamka. Należy wówczas zastosować wzór (1.22) ze str. 14.

d/ licznik ułamka podcałkowego można rozłożyć na składniki, z których jeden jest pochodną mianownika a drugi stanowi nowy przy padek, e/ funkcję wymierną przez odpowiednie podstawienie da się sprowadzić do postaci funkcji wymiernej, której całka jest postaci arctgx.

(1.26) J.

(x-kf+b

x - k = Jbt dx = Jbdt

x-k

C Jbdt Jb f dt 1 . . . r

⁼ten⁼T v+r⁼jt ® ^c"

■Tb

arctg

Jb

PRZYKŁADY CAŁKOWANIA

77/

78/

79/

80/

'(2*-5)’ r 6x + 5

’3x² +5x-3

2x-5 = t

2 dx = dt

dx = ln|3x^J +5x-3| + C

4x- 20

'2x -20x + 100

=-f4-=—^^l-^+c-

2 ^J t³ 4/²

<tx = ln|2x² - 20x +100| + C

f ^{6 + X} dx=^X-\²^ ^{+ X}^dx=^X-[^{n + 2x}dx Jl2x + x² 2^J12x + x² 2 J|2x + x²

4(2x-5)^:

t+C

|ln|l2x + x²| + C

x + 2

81/	r ^A	r ^A _	x + 2 = t
	^J x² +4x + 4	(x ₊ 2)²	ll ■s
82/		(x ₊ 2)²
	(• dr	f	dx
	^J-x² +6x-	5 ^J(x-	-sX*-D

■"r² t

• + C

Pomocniczo rozkładamy funkcję wymierną na ułamki proste. A zatem: 1 A B /4(x-l)+5(x-5) x(A + B)-A-5B

(x-5X*-l) jc —5 x -1 (x-5X*~l) (x — 5X^jc ^— 0

.4+5 = 0

Stąd: 1-/1-55 = I

A = -4

B =--

/ = -- + i f— = ---ln|x-5| + -ln|x-l| + C

4^Jx-5 4 ^ jc — 1 4 ^1 1 4 ^1 1

1 r dx 1 r dx

83/ f —_= f.

³ 4x - 5x^{2 J}

= 1

’ x(4 - 5x)

_1_ A_ B x(B-SA)+4A

x(4-5x) x 4-5x x(4-5x)

5-5.4 = 0 4/4 = 1

A = — 4

5=* 4

/-i tŚL+Ł f ^A _^lnH ^lnl⁴~⁵-^yl, _r

4 x 4 M-5x 4 4

⁸⁴⁷ t .u"

r^U - r*T—**,³ f-jiiU+ 11 f-^L-,

^Jx²-x-2 ^J x²-x-2 2^Jx²-x-2 2 ^Jx²-x-2

= ^-ln|x²-x-2|+t t-= ^-ln|x²-x-2|

2 ^1 1 2 ^J ( I y 9 2 ' '3

r"!; ~4

tli

+ 0

-23-

12 (11)

12 (11)

(1.26) J.

=ten=T v+r=jt ® c"

Jb

r^U - r*T—**,3 f-jiiU+ 11 f-^L-,

tli

⁼ten⁼T v+r⁼jt ® ^c"

r^U - r*T—**,³ f-jiiU+ 11 f-^L-,