16 (5)

Biblioteczka Opracowań Matematycznych

- f/⁺² <&=— f^'^r+2^^r=— J^^rH'²⁺²<fe=— l—*L— ₌

8^Jjr+2r+2 16^Jx*+2x+2 16^jjT+2x+2 16V+2x+2 8V+2x+2

= — 1 n Iat³ + 2 x + 2| + — arctg (x +1)

/ = —ln 16

x^: + 2x + 2

x - 2.r + 2

+—arclg(x-l)+-ar«g(.r + l) + C

103/

r2x’dx ’ .v⁶ - 8

= 2

x² = /, xdx =

dl 1 —

= 2f^-= f -^- = 1

V-8 V-8

/³-8 (f-2)(r³ +2/+ 4) / -2 /³ + 2/ + 4

/t _| Bt+C _ I²(a + B)+t(2A-2B + C)+4A-2C

l¹ -8

A = — 6

fl = — 6

c=I

A + B = 0 {-2A-2B + C=1 4.4 - 2C = 0

1 1

—/+-

6 ^ 1-2 V

_ 1	In U³ 2\| ' f
6	^{1 1} 12
1	r dl 1
2	\x² + \J+3 6

+ 2t + 4

+ 2/ + 4 21 + 2

lżf-f-il

= -ln|/-2)-— —Ł^ = -ln|^-2l-—f--²¹"-⁴ dt

6 ¹ ^ 12^J /² +2/4-4 6 ¹ ~ 12^Jr+2/ + 4

dt +— f———-= — lnljr² — 2| —lnljr"* + 2.t³ +4| +

2^Jr³+2/ + 4 6 ^1 1 12 ¹

= - In*³ - 2 —— InLc⁴ + 2*³ + 4 + I ]₂ I

273

arc7g^:

*³ +1

V3

+ C

Dla obliczenia całek funkcji wymiernych typu:

/ - f ^A

o-²⁷)

stosuje się wzór rekurencyjny, którego wyprowadzenie można znaleźć w innych opracowaniach. Wzór ten jest następujący:

1 x 2n-3 . _ r_j&_

C¹-²⁸)⁷"^-2«-2 (_x² _{+ l})’-^,+2_W-2 -¹ g^dzie “ “ ^J(^ + l)T

Całka 104/jest obliczona z wykorzystaniem wzoru (1.28).

104/ _r 2x+l . r 2x+2-\ _r 2x+2 , f dx

(x² + 2x+5)² (x²+2x+5f (x² + 2x + 5)² ^(x² + 2x+5)²

J/_2, . cY^dx iu~zr77f^dx~ Jo,-,-

x +2x+5

	X +1	r 2 dt 1
r	2	4²(/² + lj “ 8

/ = f ^

(x^J + 2x + 5^ |[x +1)² + 4 J

x+l

1 / 1 r dt 1 / 1 1 x + l 1

16 /² +1 I6^J/²+l 16/²+l 16 8 x² +2x + 5 16

Ostatecznie więc:

, 1 1 x+l 1 x+l -x-9 1 x+l _

I = —;----;---arctg-=m-\--arctg-+C

x² +2x+5 8 x² +2x+5 16 2 8(x²+2x+5) 16 2

U w asa:

Najczęściej pojawiające się błędy przy wyznaczaniu całek funkcji wy--miemych to: błędy obliczeniowe, błędne propozycje rozkładu funkcji wymiernej na ułamki proste.

Poniżej podano dodatkowo kilka propozycji rozkładu funkcji wymiernej na ułamki proste.

A B

5x + 2

(x-2)²x⁵(2x + l)³ x-2 (x-2)² x x² x³ 2x + 1 (2x + l)²

3x + 7 3x + 7 3x+7

(żx² - 7x + 3)(x² -x-6f (x-3X2x-lXx-3)²(x + 2)² (x-3>’(2x-lXx + 2)²

AB C D E F

x-3 (x-3X (x-3)* 2x-l x + 2 (x + 2X

- + --— + -7-rr+-+-+-

5. Całki funkcji niewymiernych

Jest wiele postaci funkcji algebraicznych z niewymiemościami. Stąd też jest wiele metod całkowania funkcji niewymiernych.

-31-

16 (5)

16 (5)

V-8 V-8

V3

o-27)

J/_2, . cYdx iu~zr77fdx~ Jo,-,-

o-²⁷)

J/_2, . cY^dx iu~zr77f^dx~ Jo,-,-