4

6) Wyznaczyć sumy szeregów potęgowych :

fe“f*¹"‘ d) E ~^L'⁴"-¹

n=*l n~ 1 «~1 n~\

_ 1

a) 2>v, b) c) ES^¹"² <») E

7) Rozwinąć funkcję /(x) = 4" w szereg Taylora o środku w punkcie :

a) x₀ = 1, b) x₀ = -2 .

8) Rozwinąć funkcję J{x) w szereg Taylora o środku w punkcie x₀ , jeśli

a) A*) =

JC+1

jc+2

, x_G = 2 .

9) Korzystając z rozwinięcia funkcji wykładniczej w szereg Maclaurina wykazać, że

5 oo

{ -ędx = ln2 + E (-0’fj-

¹ i ^

10) Przedstawić całkę J --^cf—dx jako sumę szeregu liczbowego.

Ile należy wziąć wyrazów otrzymanego szeregu, aby obliczyć daną całkę z dokładnością do 0,01 ?

2 oo

11) Uzasadnić wzór J (Z xⁿ)dx -ę^dx , a następnie obliczyć sumę

o »=i o

szeregu liczbowego ^ ■

n=\

12) Metodą rozwinięcia w szereg obliczyć całki:

0 x

d) | cos t³dx .

13) Korzystając z rozwinięcia funkcji f{x) = w szereg Fouriera wyznaczyć

E(— 1) ^W+1

n= 1

14) Obliczyć sumę szeregu ^ ^ --₂ korzystając z rozwinięcia funkcji /(x) = |x|

\Zn i)

n-1

w szereg Fouriera w przedziale < -n,n > . Jaką funkcję przedstawia otrzymany szereg dla e ?

15) Rozwinąć funkcję f{x) = x³ w szereg Fouriera w przedziale <-n,n>. Wykorzystać otrzymane rozwinięcie do obliczenia sum szeregów

00 oo

v (-0"

n= 1 »=1

a) J e~^x2dx,