CCF20090522000

CCF20090522000



GRUPY PUNKTOWE

Iloczyn dwóch operacji symetrii daje trzecią operację symetrii. Zawsze gdy są dane dwie operacje symetrii można zastąpić je trzecią operacją symetrii

-» Operacje symetrii (przekształcenia) występować będą w zespołach zwanych grupami.

Każdej operacji symetrii przypisuje się element symetrii

-» Obecność dwóch elementów symetrii implikuje obecność trzeciego elementu symetrii.

7. ARyberczyk-Pirck    1


Podstawy teorii grup

Grupa - zbiór elementów {Z}= {zlt ^ z3,...} dla którego określone jest działanie ( o ) i spełnione są 4 postulaty grupowe:

1-    postulat przyporządkowania ^ Z, °Z, =Z3; Z3 € {Z}

z,;z,e{Z}

2-    postulat łączności    /\ Zj °(z2 °Z3) = (z, °Z2)oZ3

z, ;z,;z3€(Z}

3-    postulat elementu neutralnego V A e°Z—Z°Q—Z

(jednostkowego)    ee{Z} ze{Z}

a w z o z' = e

4-    postulat elementu odwrotnego    z-'e{z\

Rząd grupy - odpowiada liczbie elementów tworzących grupę. Mogą istnieć grupy nieskończonego rzędu

7. .-V Rybarczyk-Pirek    2


Grupa przemienna (Abelowa) - grupa w której działanie jest przemienne A Zioz2=Z2oz,

zi; z2€ (z)

Najmniejsza z możliwych liczba naturalna n = {1; 2; 3;....} spełniająca warunek

Grupa cykliczna - grupa, której wszystkie elementy można wyprowadzić poprzez wielokrotne działanie na jednym elemencie

zn=e

nazywa się rzędem elementu z.

A Zi=Z1oz1oz1o....oz1=zJ

z, ;z,e{Z} v-v--z

i

Jeżeli element z nie posiada takiej liczby to nazywa się elementem nieskończonego rzędu

Grupy cykliczne są zawsze przemienne

Generator grupy (zbiór tworzący grupy) - najmniejszy możliwy zbiór elementów, z którego poprzez działanie grupowe można wyprowadzić wszystkie pozostałe elementy danej grupy -utworzyć pełną grupę.

Zbiór tworzący grupy cyklicznej jest jednoelementowy.

7. ARyborezyk-Pirek 3

7. A Rybarczyk-Pirek 4


Przykładowe grupy

Zbiór liczb całkowitych: C={...-2,-l,0,l>2,...} oraz działanie dodawanie

1)    postulat przyporządkowania - dodawanie dwóch liczb całkowitych da w wyniku zawsze liczbę całkowitą

2)    postulat łączności - przy dodawaniu trzech liczb nie ma znaczenia kolejność wykonania operacji (dodawanie spełnia postulat łączności)

3)    postulat elementu neutralnego - dla operacji dodawania elementem jednostkowym jest 0, ponieważ dodanie 0 do dowolnej liczby nie zmienia ostatecznego wyniku

4)    postulat elementu odwrotnego - elementem odwrotnej każdej liczby całkowitej jest liczba przeciwnego znaku ponieważ ich suma daje w wyniku element jednostkowy

Jest to grupa nieskończonego rzędu, przemienna, niecykliczna; zbiorem tworzącym jest {-1; 1}

7. A. Rybarczyk-Pirek    5


Zbiór {1,-1, i,-i} ( i=-v/—l ) oraz działanie mnożenie


1)    postulat przyporządkowania - można sprawdzić wykonując tabelę działania grupowego

2)    postulat łączności - przy mnożeniu trzech liczb nie ma znaczenia kolejność wykonania operacji (mnożenie spełnia postulat łączności)

3)    postulat elementu neutralnego - dla operacji mnożenia elementem jednostkowym jest 1, ponieważ mnożenie przez 1 dowolnej liczby nie zmienia ostatecznego wyniku

4)    postulat elementu odw rotnego - element odwrotny dla każdego elementu grupy można łatwo zdefiniować na postawie tabeli grupowej (należy sprawdzić kiedy w wyniku działania otrzymuje się element jednostkowy)


•

i

-i

i -i

1

i

-i

i

-i

-1

-i

i

-i

i

i

i

-i

-i

i

-i

-i

i

i

-i


Jest to grupa 4-go rzędu, przemienna, cykliczna; zbiorem tworzącym jest {i}

Uwaga: proszą sprawdzić to samodzielnie!


7. A. Rybarczyk-Pirek


6


1


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
CCF20090421000 (3) GRUPY PUNKTOWE Iloczyn dwóch operacji symetrii daje trzecią operację symetrii. K
CCF20090522004 5. Grupy punktowe główna osia obrotu, prostopadła do niej płaszczyzna symetrii, i ró
CCF20090522002 2. Grupy punktowe z jedna osia obrotu i płaszczyzna odbicia prostopadła do osi X + m
DSC32 (7) WYZNACZENIE PUNKTÓW GŁÓWNYCH ŁUKU KOŁOWEGO Z SYMETRYCZNYMI KLOTOIDAMI W PUNKCIE W2 D
CCF20090516003 Konstrukcja punktowych operacji symetrii >    tożsamość >
67176 skanuj0028 (140) 1.1.6.2, Grupy punktowe dwuwymiarowe (grupy punktowe płaskie) Elementami syme
ZGŁĘBIAM SEKRETY LICZENIA KL 1 2 (30) 1. Przedstaw liczby 12 i 18 jako sumy lub iloczyny dwóch
img350 D4.12. Dla każdych dwóch macierzy symetrycznych A i B typu (w. n), gdzie macierz B jest dodat
Resize of IMG25 Zaliczenie przedmiotu (tzw. „zaliczenie na ocenę") - na podstawie sumy punktów
skanuj0042 (72) D. Układy krystalograficzne W tablicy przedstawionej niżej podzielono 32 krystalogra
egzamin so 2k7 B foto z grupy Data: egzamin (W) Systemy operacyjne Nazwisko i imię:......... i 7ąyna

więcej podobnych podstron