DSC07302

Liczby zespolone

Poszukiwany zbiór składa się a sześciu otwartych obszarów kątowych (rysunek).

Przykład* 1.14

Wykorzystując wzór na sumę wyrazów zespolonego ciągu geometrycznego obliczyć j 1 + cos* + cos2x +... + coanx, gdzie n € N, z € R.

Rozwiązanie

Niech z = coai + i sin x. Wtedy z^k = cos kx + i sin fcr, zatem cos kx = Re z dla k = 0.1,2.....n. Stąd mamy

1 —

1+COSI+ — +cosnx = Re (1 + z +... + z") = Re—^ — - ■

= Re-

1 — cos (n + 1) x — tsin(n + l)x 1 — cos z — i sin x

= Re

_ . s (n + 1) x ... (n + l)x (n + 1)* 2 sin ■—--2i sin---cos-g-

2sin^a | -2isin|cos|

= Re

. (n + 1) x . (n + l)x . (n + I)x stn » ^aln " 2 ~^ICOS-2~—

: ł ^S,n2

X x

«in- -IC06-

j (n+l)x	(_j_n (n+l)x		(n+l)x\ / x
2 _nr	(_j_n (n+l)x		(n+l)x\ / x
Tx-"* *n 2	2	a O	⁰³ 2 J l**" 2
. (»+l)x _
2 [.	. (n + l)x __f_	X	__ (n + l)x
■ * V «™ o '	MII ^ ■*“	2	¹ 2 ^ro'

(n + l)g

sin

i--"T-

Ostatai rachunek jot prawdziwy dla i / 1, to znaczy dla z / 2/.-ir, gdzie G Z. Dl® x =■ 2k» mamy 1 + coa2Jlnr + ... + ttmnTku = n + l.

Przykłady ^

Postać wykładnicza liczby zespolonej

• Przykład 1.15

Stosując postać wykładniczą liczby zespolonej z rozwiązać podane równania:

.)(!)•-4 Mi ......

Rozwiązanie

Zastępując symbolem e'* wyrażenie coa<p + i sin <p występujące w postaci trygonometrycznej liczby zespolonej z = r(cos ęj+isinip) otrzymamy postać wyklndaniczą tej liczby, tzn. wzór z = ref*. Przy rozwiązywaniu równań będziemy korzystać z tego, że dwie nie-zerowe liczby zespolone są sobie równe wtedy i tylko wtedy, gdy ich moduły są równe, a argumenty różnią się o wielokrotność 2ir, tzn. dla zi = r₁e‘^v’¹, z_a = rae***, ri,ra > 0, mamy

si = za <—» ri = ra oraz ęai = ipi + 2fcrr, k 6 Z. a) Liczba z = 0 spełnia równanie (s)* = 4 jz^a|. Niech teraz z = re**, gdzie r > 0, 0 $ ip < 2-. Wówczas z = re^-up oraz, ze wzoru de Moivre'a, (z)® = r*e^-®^,v>. Dalej |z^a| = r^a, a więc

(-)° ⁼ 4 |z*|

pOg-Olsj ₌4r3

= 4re

f r® = 4r^a—6<p = 0 + 2łnr, k

r = 0 lub r = >/2 V== y. / = 0,1,2,3,4,5.

Rozwiązaniami równania są zatem liczby

_St=0.za^t/2,za = ^ ₊ ^.-.

y/2 . >/6.

—5“ + -j"*. =s = —sa, za = ~-3* zt = -=4.

Są one przedstawione na rysunku poniżej.

b) Równoważnie możemy napisać, że |z|^a z = (-1)- (5)* dla : jSO. Niech z = re'*, gdzie r > 0, 0 $ <p < 2ir. Wówczas

|z|^a • z = (-1) - (=)» <=> r^a . (re**) = e" . (r^se-^,i'’)

r* == r*

= ir — 4- 2Anr, k 6 Z

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
DSC07298 18Liczby zespolone c) Mamy> v 5
IM11 Permutacje : Jeśli zbiór X składa się z n różnych elementów, to każdy ciąg utworzony z n różnyc
img053 Tym obszarem krytycznym może być przedział lub np. zbiór składający się z dwóch rozłącznych
99 MALI BRACIA „Cztery Małe Siostry tworzą tutejszy zespół. Ich obozowisko składa się z dziesięciu
Zespół chłodzenia wtórnego Zespół chłodzenia wtórnego składa się z prowadnic rolkowych oraz dysz
Zbiór permutacji S3 składa się z sześciu permutacji: ĆT0 = 1 2 3 = ( 1 2 3 1 2 3
SDC10185 Zespół pojazdów może składać się najwyżej z 3 pojazdów, a zespół ciągnięty przez
DSC07303 28 Liczby zespolone { r € (0, oo)«J + Ar = 0.1,2,3. RoniąinniA równania i worzą więc dwie p
DSC07307 36 Liczby zespolone a) argr = —; c) « < arg(i =) < 2w; e) j < arg(-z) < b) £ &l
SDC10185 Zespół pojazdów może składać się najwyżej z 3 pojazdów, a zespół ciągnięty przez
System pracy s Praca w zespołach projektowych, które składają się z 2-3 osób s UWAGA!! Studenci musz
Wykład1 2009-09-26 Nauka o międzynarodowych stosunkach ekonomicznych składa się

więcej podobnych podstron