img020

FUNKCJA PIERWOTNA, CAŁKA NIEOZNACZONA

Podkreślmy, iż w ostatnim przykładzie korzystaliśmy z następującej równości:

FUNKCJA PIERWOTNA, CAŁKA NIEOZNACZONA

(2.15)

ax +bx+c=--+ci x+— (a, b, c e R, a *0,* e K, A: = b²- Aać)

zwanej postacią kanoniczną trójmianu kwadratowego.

A oto jeszcze jeden, jak się okaże później, bardzo ważny przykład zastosowania wzoru wyprowadzonego wcześniej oraz wzoru (2.15), gdy wyróżnik A jest ujemny (A < 0!);

r dx r dx 4 nr dx

■* ax² + bx+c ■* A ( ^h A ■*

Aa r a J

2 a dx

1--

2 a

4a r

cLx

la 2 a b

U/=A*⁺V=A Ta

2 a b

Aa -J-A .( 2a b A 2 2ax+b „

= ^arct^-^x₊-₇=j = -^a^rctg-₇=_r+C (tablica l,wzór9).

2.16 Niech <p będzie dowolną funkcją zmiennej x (zobacz uwagę 2.7) spełniającą założenia twierdzenia 2.5. Wówczas zgodnie ze wzorem (2.13) otrzymujemy:

(tablica 1, wzór 1),

astądnp. fsin" xcosxdx = —— sin"¹ x, faretg"*—= —— aretg'"¹* itd., itd.

^J n + 1 ^J l + x n+1

Niemal identycznie otrzymujemy też następujące wzory:

f ----f- = lnlcp(jr)) + C (tablica 1, wzór 2),

J <p(x)

f *P i*)*** _ _arcsincp(x) + C (tablica 1, wzór 8) itd., itd.

^J ,]l-<?²[x)

Jest oczywiste, że w każdym z tych wzorów trzeba przyjąć odpowiednie założenia o funkcji cp. Nie czynimy tego w tym miejscu, gdyż w konkretnym przykładzie, dla konkretnej funkcji ę jest je łatwiej sprecyzować. W dalszym ciągu nie będziemy ich nawet precyzować ufając, iż Czytelnik zrobi to sam bez większego trudu.

Odnotujmy teraz w postaci dwóch tablic ważniejsze wzory, których genezę powstawania opisaliśmy w przykładach 2.15 i 2.16, sformułowanie zaś odpowiednich założeń o funkcjach /oraz (p pozostawiamy Czytelnikowi.

img020

img020

J <p(x)

J ,]l-<?2[x)

^J ,]l-<?²[x)