img052

CAŁKOWANIE PEWNYCH WYRAŻEŃ ZAWIERAJĄCYCH PIERWIASTKI Z FUNKCJI WYMIERNYCH

W tym opracowaniu będziemy jednak preferować postać (4.2), gdyż jest ona, jak się wydaje z dydaktycznego punktu widzenia, łatwiej rozpoznawalna w konkretnych zadaniach. Dodajmy też, iż mówiąc mniej precyzyjnie, całki typu (4.2) są to całki z funkcji, w których występuje zmienna niezależna w pewnych potęgach oraz pierwiastki ewentualnie różnych stopni, ale z tej samej funkcji homograficznej, która jest oczywiście funkcją wymierną.

Twierdzenie 4.1

Podstawienie

jax + b

^f_ w

gdzie m jest najmniejszą wspólną wielokrotną liczb p, q, r, sprowadza całkę typu (4.2) do całki z funkcji wymiernej.

PRZYKŁADY 4.1. Całka

rx + \[x²+^fx

^J x(\ ₊ \fr)

jest całką typu (4.2), w której a = d = \,b = c = 0 ,p = 3, q = 2. Zgodnie więc z twierdzeniem 4.1 stosujemy podstawienie: t = %[x = Stąd x = l⁶ = (p(/) oraz <p'(0 = 61⁵ i wobec

tego

+Vx

• x+

dx =

rf+f+t ₅ \ ([ t^S+l³+l '

11 —r~.--rt dt =d ---dt

^J'^i+r L V u

(/^s+f³ + ₁)_:(t^:+i)

t^s+P

(i+r²)

= 6 f t³dt + f = h[* + arctg\fx + C.

J J t² + l„iTx 2

= = 1

[_i_, (Ef*

J {2-x)²\2 + x j2-x . . 2-2t

4.2. Aby obliczyć całkę podstawiamy:

³ -12r²

=ę>(0=*<p'(0=

Dlatego też

>(2-x)²h+x J 161⁶ (r³ + i)⁴

-dt

2 { 2t² )JE

Y2+x

41R2-*

img052

img052

J x(\ + \fr)

(/s+f3 + 1):(t:+i)

(i+r2)

^J x(\ ₊ \fr)

(/^s+f³ + ₁)_:(t^:+i)

(i+r²)