img099
99
ma pierwsze pochodne cząstkowe w punkcie a i a Jest punktem ekstremum lokalnego, to
Warunek (8.6) Jest więc warunkiem koniecznym istnienia ekstremum lokalnego funkcji f w punkcie a, ale tylko dla funkcji f najęcej wszystkie pochodne częstkowe pierwszego rzędu w punkcie a.
Ksżde rozwięzanie układu równań (8.6) nazywamy punktem Stacjonarnym funkcji f. Oeśli więc a Jest punktem ekstremum lokalnego funkcji f najęcej w a wszystkie pochodne częstkpwe pierwszego rcędu, to a jest punktem stacjonarnym f. Twierdzenie odwrotne nie Jest prawdziwe.
Przykład
Niech f:R23(x,y)—► xy. Wówczas punkt (0,0) Jest punktem stacjonarnym tej funkcji, ale nie Jest on punktem ekstremum lokalnego, bowiem w każdej kuli o środku w (0,0) znajduję się punkty o współrzędnych (a,a), gdzie a ^ O, w których f ma wartość dodatnię oraz punkty c współrzędnych (a,-a), w których f ma wartość ujemnę.
Zwróćmy też uwagę na fakt, że istnieję takie funkcje f, że na każdej prostej przechodzącej przez poczętek układu współrzędnych f ma ekstremum w punkcie (0,0), a mimo to punkt (0,0) nie jest punktem ekstremum lokalnego.
Przykład
Funkcja fsR23(x,y)—► (y-x2)(y-3x2) nie ma ekstremum lokalnego w punkcie (0,0), ponieważ w dowolnej kuli o środku w (0,0) znajduję 3ię punkty o W6półrzędnych (0,a), gdzie a ^ 0, w których f ma wartość do-
O ^
datnię i punkty o współrzędnych (a,2a ), w których f ma wartość ujemnę, podczas g<$y f(0,0) ■ 0. Natomiast na osi 0x mamy f(x,y) =» 3x4 a
a g(x), a więc g ma minimum absolutne w punkcie x » o. Na osi Oy mamy f(x,y) = y2 • h(y) i również h ma minimum absolutne w punkcie y = 0. Oeśli zaś punkt (x,y) leży na prostej 1 o równaniu y ■ mx, gdzie
0 < | m i <oo, to
F(x) ■ f(x,«x) • («x-x2)(mx-3x2) ■ m2x2 - 4m3 ♦ 3x4
1 F ma minimum lokalne w punkcie x « 0, gdyż F#(0) ■ 0 i F*#(0) » 2m2>0.
Oeflnlcja 8.4. Punkt a nazywamy punktem silnego maksimum lokalnego (odpowiednio punktem silnego minimum lokalnego) fikcji f :R*i> K(a, r) —* R , Jeśli f(x)<f(a) (odpowiednio f(x) > f(a)) dla każdego x6K(a,r)\|»| .
Zauważmy teraz, że Jeśli a Jest punktem stacjonarnym funkcji f, to df(a) « 0 i o tym czy punkt a Jeat punktem ekstremum lokalnego ®oże decydować druga różniczka d2f(a), oczywiście w przypadku, gdy f Jest funkcję dostatecznie regulern#.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
img099 99 ma pierwsze pochodne cząstkowe w punkcie a i a Jest punktem ekstremum lokalnego, to Warune
img099 99 ma pierwsze pochodne cząstkowe w punkcie a i a Jest punktem ekstremum lokalnego, to Warune
W5 Granica funkcji dwóch zmiennych, pochodne cząstkowe i różniczka funkcji 2 W6 Ekstrema lokalne -
img094 94 aa pierwsze pochodne cząstkowe ograniczone « I. Ponadto zakładamy, że a21 pochodna
Twierdzenie 6.8 (Taylora) Jeżeli funkcja f ma ciągle pochodne cząstkowe do drugiego rzędu włącznie n
P1050564 ANIE POTENCJOMETUYCZNE 165 Meioda pierwszej pochodnej d£ Jest to metoda Hostettera i Robert
Image3145 Ponieważw(- 72,77) - 672 6-72 672 672 = -144 < O, to funkcja f niema w punkcie (-72,72)
Scan 110530 0001 g ^2 1. Oblicz granice lim*_0 . -t 2. Co to jest ekstremum lokalne? Podaj warunek k
5 (1708) 1 punkt Funkcja / : R210. pierwszego rzędu równe 0. R ma w punkcie (1,1) obie pochodne cząs
5 (1709) 10. 1 punkt Funkcja / : M2 R ma w punkcie (1,1) obie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu ró
Jeżeli funkcja ^ ma w otoczeniu punktu pochodne cząstkowe ciągłe, to w tym punkcie
img099 99 rzadziej używaną, jest określenie powiększenia lunety jako stosunku wielkości przedmiotu w
img099 99 rzadziej używaną, jest określenie powiększenia lunety jako stosunku wielkości przedmiotu w
więcej podobnych podstron