mad egzamin2001

H*Q

27.01.2001 C

PJWSTK: Egzamin z matematyki dyskretnej

1. (5 pkt.) Czy dla każdych zbiorów A, B, C, D jest prawdziwy wzór:

(An B) \ {C nD) = (A\ c) n (b \ Dy.

2. (10 pkt.) Rozważmy zbiór ^wszystkich permutacji zbioru {1,2,3}. Relacja p C “P x V określona jest następująco:

(PI1P2) € p -B- 3* 6 W : i jest parzyste oraz p\ = p?

gdzie przez p\ rozumiemy i-krotne złożenie permutacji p\. Narysuj graf tej relacji. Określ czy ta relacja jest

• zwrotna

• symetryczna

• asymetryczna

• antysymetryczna

• przechodnia

• spójna

• dobrze ufundowana

• relacją równoważności

• relacją porządku.

Odpowiedzi uzasadnij.

3. (4 pkt.) Zakładając, że k\n oznacza, predykat „n jest podzielne przez k, aa p{x): „z jest liczbą pierwszą”, wyraź w języku logiki następujące stwierdzenia:

a. Jest nieskończenie wiele liczb pierwszych różniących się od siebie o 2.

b. Liczba n nie dzieli się przez kwadrat żadnej liczby pierwszej.

4. (6 pkt.) Podaj przykład niepustego zbioru i relacji na nim określonej (po jednym przykładzie do każdego z podpunktów), która jest jednocześnie

a. przechodnia, symetryczna, przeciwzwrotna,

b. dobrze ufundowana, przechodnia i nieskończona,

c. antysymetryczna, przechodnia, spójna, o nieprzeliczalnej liczbie elementów.

5. (15 pkt.) Doświadczenie losowe polega na rzucie wyważoną kostką, a następnie tylu kolejnych rzutach, ile wypadnie oczek za pierwszym razem. Łączna liczba rzutów zatem będzie wahać się między 2 a 7.

a) Określ przestrzeń probabilistyczną tego doświadczenia losowego (podaj zbiór zdarzeń

elementarnych i prawdopodobieństwo zajścia każdego z nich).

b) Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że we wszystkich tych rzutach co najmniej raz

wypadła piątka lub szóstka.

c) Określmy zmienną losową równą sumie wyrzuconych oczek w dwóch ostatnich rzutach.

Oblicz jej wartość oczekiwaną.

Wszystkie odpowiedzi należy uzasadnić.