012 8
Jeśli ciąg sum częściowych szeregu geometrycznego nie ma granicy właściwej, to mówimy, że szereg geometryczny jest rozbieżny.
Przykład 5
Oblicz sumę szeregu geometrycznego: l + | + | + ^- + ...
Zauważmy, że q = Wyznaczamy n-tą sumę częściową tego szeregu:
Badamy granicę:
lim Sn = lim (—2 + 2 • (|)n) = oo
n—>oo n—>oo v \ £ i /
Zatem szereg jest rozbieżny do oo.
TWIERDZENIE_
Szereg geometryczny o pierwszym wyrazie a\ 0 i ilorazie q jest zbieżny, gdy |g| < 1 i rozbieżny, gdy \q\ > 1.
Uwaga. Jeśli a\ — 0, to szereg ma postać 0 + 0 + 0 +... Jego suma jest równa 0. Ćwiczenie 5
Dla jakich wartości x szereg geometryczny jest zbieżny?
X + 2x2 + 4xs + 8.T4 + . . .
1 — X + X2 ~ X6 + . . .
Przykład 6
Rozwiąż równanie:
8 + 8(.x 4- 1) + 8(.t + 1)" + ... — —x2
8
Iloraz szeregu geometrycznego 8 + 8(# + l) + 8(.r + l)2-K .. jest równy q = x+l. szereg jest zbieżny, gdy |ar+ 1| < 1, czyli dla x € (—2;0). Równanie przybiera wówczas postać:
2 korzystamy ze wzoru
JS q _ n -i
“ ~l
l-(l+ar)
1 :> przekształceniu ostatniego równania otrzymujemy xd = 8, czyli x — 2. Ale _ i (—2; 0), co oznacza, że równanie jest sprzeczne.
Ćwiczenie 6
Rozwiąż równanie.
x — x2 + x3 — x4 + ... = 2x — 1 b) 1 + ^x + -x2 -f + ... = ! + -
' 2 4 8 x
4.18. Szereg geometryczny 249
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
do tej samej granicy właściwej, to mówimy, że funkcja f jest całkowalna na (a. b) a granicę ciągu su
4.1 Szeregi o wyrazach dodatnich Ciąg sum częściowych szeregu o wyrazach dodatnich jest ciągiem rosn
WYZNANIA WSZYSTKO co Wszystko, co kocham, traci połową wartości, jeśli Ciebie nie ma w pobliżu&
Słownik podstawowych pojęć (7) NULL jeśli dana wartość nie jest znana lub nie ma jej w ogóle, to mów
WYZNANIA WSZYSTKO co Wszystko, co kocham, traci połową wartości, jeśli Ciebie nie ma w pobliżu&
P1070352 (3) I >• fiuicju Mówimy, ** szereg S ] jesi ugram* zony J«4o
CCI00007 Szeregi (lista 2) 1. Znaleźć ciąg sum częściowych i następnie na podstawie def. znaleźć sum
43 9 Twierdzenie 3. Szereg o wyrazach nieujenmych jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jego ciąg su
V. Szeregi liczbowe 2. Suma szeregu Definicja 5. Szereg (2) nazywamy zbieżnym. jeżeli ciąg sum częśc
56209 P1070352 (3) I >• fiuicju Mówimy, ** szereg S ] jesi ugram* zony J«4o
56209 P1070352 (3) I >• fiuicju Mówimy, ** szereg S ] jesi ugram* zony J«4o
skan0003 2 110 ÓO Stąd wynika, że ciąg Sn nie ma granicy, a to oznacza, że rozbieżny. szereg y^(-l)n
page0076 12 Szereg bowiem zjawisk albo ma przyczynę pierwszą, która nad sobą już nie ma żadnej innej
12 Mini-wykłady o maxi-sprawach Jeśli teoria, wedle której nic w nas nie ma oprócz żądzy władzy, jes
1 (21) piszącej również i dla dzieci ani przy jej „sylwetce” w części ogólnej, jak nie ma wzmianki o
Spójnik Łączy części zdania. Jest wyrazem niesamodzielnym . Nie ma osobnego, właściwego sobie
więcej podobnych podstron