PRACA PISEMNA nr 2 WMS 2, gr 2, wersja B

1. Wykaż, że funkcja / : [0, +oo) —

^/(*^):=f ?

dana wzorem:

dt

1

jest funkcją rosnącą i ograniczoną na przedziale [0, +oo).

2. Oblicz (o ile istnieje) całkę

f°e*dx

i-i ~ ‘

3. Znajdź przedział zbieżności szeregu oraz wyznacz jego sumę:

E

2ⁿxⁿ

n(n + 1)'

4. Niech /_n : [0,7r] —>• R, n £N, będzie ciągiem funkcyjnym określonym następująco:

. ,. _ f nsinnz,    dla z € [0, -]

^JAX>1 o,    dla x € [J.irj

Znajdź funkcję graniczną / ciągu {/„} oraz sprawdź, czy zachodzi równość:

Hm_n—,₊₀₀ fj f_n(x)dx =    f(x)dx.

Otrzymany wynik uzasadnij w oparciu o twierdzenie o całkowaniu ciągów funkcyjnych.