028(1)

86. lim (| 2x²+1 — ] **+1) 87. lim (| x²+2x— ]/x^l+x)

89. lim (tgx—secx)

V. Przypadek, gdy dla x -» a lub x -* oo funkcja f(x) staje się potęgą, której podstawa dąży do jedności, a wykładnik do nieskończoności (przypadek V*).

W tym przypadku w celu znalezienia granicy korzystamy z następującej granicy podstawowej

Liczba ejest liczbą niewymierną: e — 2,7182818...

Logarytm o podstawie e nazywa się logarytmem naturalnym i jest oznaczany przez ln. Logarytmy naturalne i dziesiętne są związane wzorami

przy czym M — lge = 0,43429...,    = ln 10 = 2,30258...

Rozwiązanie. Stwierdziwszy najpierw, że przy podanym przebiegu argumentu rozważana funkcja rzeczywiście staje się potęgą o podstawie zmierzającej do jedności i wykładniku dążącym do nieskończoności (przypadek 1°°), sprowadzamy funkcję do takiej postaci, aby można było skorzystać z wyżej przytoczonej granicy podstawowej.

1) Podstawiając n = ax, mamy x -» co, gdy n -> co, oraz

Przykład ten można też rozwiązać bez stosowania zamiany zmiennej

-fc(^,+-ś) 1“''

a

2)    Podstawiając —2a = ot, mamy a -» 0, gdy a -> 0, oraz

lim (1-2*)* = lim(l+a)~“ = flim (1-+-«)“'!    =e"²

*->■0    O-.0    L    J

3)    Oddzielając z ułamka część całkowitą, podstawiamy —— ^x> skąd x -> 0, gdy t -> co, oraz

lt-3\^2,hl I 5 \^J,+1    ——_3

““(7+2) ^=lim(¹-7+2) -iⁱ+¹⁺*>    ⁼

_1_

= [lim(l+a)T¹⁰ • lim(l+x)-³ = e-¹⁰ • 1 = <r^lł

4)    Podstawiając tga = 1+ot, mamy a -*■ 0, gdy a: -»oraz tg2a =

2 tga    2(a+1)

1 —tg² a:

§ 8. Zadania mieszane na znajdowanie granic

Wyznaczyć granice:

sin 3*

x-*o 3 — | ~2x+9

/.-►00 71+IA+ + 1

55

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
c2 (5) Rozdział 5 3. Wyznaczyć granice ciągów: a) lim [n2 + 2n - 1) = oo n—> cc ponieważ mamy sum
DSC08025 Kolokwium z Analizy Matematycznej I gr.B, 10 stycznia 2008 1. (3p.) Wyznacz granice funkcji
Granica funkcji zadania 5.6. Wyznaczyć granicę funkcji 1) lim (3*2 -5*+ 2), j-*2 3) lim (2*2+3*2-5
poprawa z rozniczek2 Zadanie 3. (5p) Wyznaczyć ekstrema funkcji /(x, y) — y In (y + 2x2). Si: z = 12
§5. Granica i ciągłość funkcji 1. Wyznaczyć granice: a) lim > a—2 <=)■o e) lim ^~^±nx-6
152 (2) Zadania ZADANIA 1. Wyznaczyć granice: x2 + x — 6 a) lim x->2 x 2-4 g) lim :;4 - 8x3 + llx
lista 3 Lista 3 Zadanie 1 Zbadaj zbieżność szeregów Zadanie 2 Wyznaczyć granice a) lim+%* Jx+3 ....
76566 skrypt biomechanika spidografia22011 b 2 Jeśli wyznaczymy granicę (lim) ilorazu przemieszczen
4 Ciąg i granica ciągu y) lim /2n + 3n z) lim v^4n2 + n + 5 aa) jis, y(i)“+(!)”+(§) ah) lim
Zdjecie305 OWkz granice ciągów: lim n2-n + l 2-2 « 1 -4w4 — 5/7 + 7 >    «3 + 4/72
6 (270) 09.04ANALIZA MATEMATYCZNA KOLOKWIUM I, grupa C Zadanie 1. Oblicz granice ciągów: a) lim •Vw3
023 8 Ćwiczenie 2 Oblicz granicę jednostronną. 1 a) lim b) 9 X — X lim — x^0+ Jxc) x—2
c5 (2) Rozdział 5 a~” = a”5. Obliczyć granice ciągów: a) lim [(4)tt + 3-4-" + 2] -lim [(4)"
e trapez OBLICZANIE GRANIC CIĄGÓW r r lim n
4) Obliczyć granice jednostronne (4.1) lim -i-»0+ x (4.2) lim — x-*o- x (4.3) lim *-n+ x — 1 (4.5)

więcej podobnych podstron