034(1)
Wykres funkcji przedstawiono na rys. 27.
5) Funkcja logarytmiczna >’ = Ig u jest określona tylko dla dodatnich wartości argumentu u. Dlatego funkcja elementarna /5(x) — lg(x2+3x) będzie określona i ciągła dla x spełniających nierówność x2+3x > 0. Rozwiązując tę nierówność, znajdziemy obszar określoności, a tym samym obszar ciągłości funkcji; składa się on z dwóch odcinków osi liczbowej
—oo < x < —3 i 0 < x < -i-oo
We wszystkich punktach odcinka —3 < x < 0 rozważana funkcja jest nieokreślona, jednak punktami nieciągłości są tylko punkty graniczne x — —3 i x = 0, bowiem tylko w punktach leżących dowolnie blisko na lewo od punktu x = —3 oraz na prawo od punktu x = 0 funkcja jest określona. Wszystkie wewnętrzne punkty odcinka [—3,0], w których funkcja, tak samo jak w punktach x — —3 i x = 0, jest nieokreślona, nie *>ą punktami nieciągłości, ponieważ funkcja jest nieokreślona w pobliżu tych punktów';
|
y |
y / | ||
|
i |
y x—3 i ;___ |
-3 0 |
/ / y=lg(x2+3x) |
|
0 |
1 .1 x | ||
|
Rys. 27 |
Rys. 2S |
punkt, w którym funkcja jest nieokreślona jest punktem nieciągłości funkcji tylko wtedy, gdy funkcja jest określona w pobliżu tego punktu przynajmniej z jednej strony.
Wyznaczamy jednostronne granice funkcji dla x dążących do punktów nieciągłości od wewnątrz obszaru określoności funkcji. Mamy
lim lg(x2+3x) = Ig 0 — —oo
X-*- — 3—0
lim lg (x2+3x) — lg 0 = —oo x~H o
skąd wrynika, że rozważana funkcja ma w punktach x = —3 i x — 0 nieciągłości nieskończone (rys. 28).
123. Dla każdej z poniższych funkcji wyznaczyć punkty nieciągłości Gęśli istnieją), znaleźć skok funkcji w punktach nieciągłości i narysować
|
wykres funkcji: | |||
|
1) /(*) = |
1 --v2 2 5 |
gdy |
.x<2 |
|
gdy |
x >2 | ||
|
2]'x, |
gdy |
0 ^x^l | |
|
2) <p(x) = |
4 — 2x, |
gdy |
Kx<2,5 |
|
2x-7, |
gdy |
2,5 < x < +oo | |
|
2x-\-5, |
gdy |
— oo < x < — 1 | |
|
3) F(x) = |
1 ł JC |
gdy |
— 1 < +00 |
Rozwiązanie. 1) Funkcja f(x) jest określona na całej osi liczbowej. Nie wynika stąd jednak, że jest funkcją ciągłą na całej osi liczbowej, ponieważ nie jest ona funkcją elementarną; jest zadana za pomocą dwóch różnych wzorów dla różnych przedziałów argumentu x i może być nieciągłą w punkcie x = 2, w którym zmienia się jej wyrażenie analityczne.
Znajdujemy granice jednostronne funkcji w punkcie x — 2, gdy argument dąży do tego punktu z lewej oraz z prawej strony. Ponieważ na lewo od
punktu x — 2 funkcja f(x) = — y x2, więc
lim f(x) = lim (---= — 2
*-—2-0 \ 2. )
Na prawo od punktu x = 2 funkcja f(x) = x, zatem
lim f(x) = lim x = 2
*—2+0
Granice lewo- i prawostronne są skończone, ale ich wartości są różne. Dlatego, z uwagi na niespełnienie drugiego warunku ciągłości, w punkcie x ~ 2 funkcja jest nieciągła (nieciągłość skończona);
Skok funkcji w tym punkcie jest skończony i wynosi
lim /(*) — lim f(x) = 2 —(—2) = 4 *—2+0 *—2-0
67
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Image325 Układ przedstawiony na rys. 4.372, spełniający równanie (14), jest układem najszybszym, gdy
s2 zad5 s1 Rozwiązać ramę przedstawioną na rys. 1.44a z pominięciem wpływu sił normalnych, określić
040 4 Zadania dodatkoweRozwiązanie: Funkcja logarytmiczna jest określona tylko dla liczb dodatnich,
Image455 a o E Y +27~ Funkcję spełnianą przez układ oraz jego schemat logiczny przedstawiono na rys.
3 (1767) Przykładowy wykres zginania, czyli wykres wartości siły P w funkcji strzałki ugięcia przeds
Image049 Funkcję I (AND) dwóch zmiennych boolowskich przedstawiono na rys. 3.1. Każda liczba zmienny
Image073 Układ służący do realizacji tej funkcji, zbudowany z bramek I (AND), LUB (OR), NIE (NOT) pr
Image078 Tablica wartości tej funkcji jest przedstawiona na rys. 3.36a. Ponieważ rozważana funkcja j
Image079 Tablica wartości tej funkcji przedstawiona na rys. 3.38a, a rozwiązanie zadania na rys.
Image114 Przerzutnik JK-MS — 72 przedstawiono na rys. 4.53. Bramki 1 i 2 realizują funkcje K = KX*K2
Image345 Implementacje funkcji (1) i (2) przedstawiono na rys. 4.394. W układach tych, jeśli żadne z
Image355 Implementacje układów realizujących funkcje (3) oraz funkcje (4) przedstawiono na rys. 4.40
Image371 Schemat logiczny układu realizującego powyższe funkcje przełączające przedstawiono na rys.
Image446 Funkcję, która ma być spełniona przez układ przedstawiono na rys. 4.538a, natomiast symbol
Strona7 37Zadanie 3. Narysować konstrukcją przedstawioną na rys. 20. przy pomocy funkcji Cone. Rys.
więcej podobnych podstron