050 051 2

50 Programowanie liniowe

Pierwsza tablica simpleksowa ma postać (tablica 1.14):

Tablica 1.14

cx —»	max	2	4	0	0	0	b
Baza	^CH	x,	*2	x₃	*4	X*
	0	2	2	i	0	0	14
X, <	0	i	2	0	1	0	8
x₅	0	4	0	0	0	1	16
cr	-Z;	2	4	0	0	0	0

Po wykonaniu kolejnych przekształceń na początku drugiej iteracji otrzymujemy (tablica 1.15):

Tablica 1.15

cx	max	2	4	0	0	0	b
Baza	^CB	X\	*2			*5		i
x₃	0	1	0	1	-1	0	6
x₂	4	0,5	1	0	0,5	0	4	>
X5	0	4	0	0	0	1	16	\
cr		' 0 1	Q	0	-2	<V	16	i i >

yy ’ Ot ->■) ,

lv-' ;v *

Zmiennymi bazowymi są teraz: x₂ = 4, x₂ = 6 i *5=16. Rozwiązanie to odpowiada wierzchołkowi A (rys. 1.14). Wśród wskaźników optymalności dla zmiennych niebazowych znajduje się wskaźnik równy 0 (zmienna *,). Oznacza to, że wprowadzając do bazy tę zmienną, otrzymamy drugie, alternatywne bazowe ; rozwiązanie optymalne (odpowiadające na rys. 1.14 wierzchołkowi R). Tablica simpleksowa odpowiadająca temu rozwiązaniu to tablica 1.16.

Tablica 1.16

cx	max	2	4	0	0	0	b
Baza	c»	*1	*2	Xy	x_A	x*
	0	0	0	l	-i	-0.25	2
	4	0	1	0	0,5	-0.125	2
	2	1	0	0	0	0,25	4
^cr	~Zj	0/	0 . f	0 ,•	-2	s ■ °. •	16

W nowej tablicy simpleksowej ponownie pojawił się zerowy wskaźnik optymalności dla zmiennej niebazowej x₅, co wskazuje na istnienie rozwiązania alternatywnego, rozpatrywanego już uprzednio. Większa liczba zerowych wskaźników optymalności dla zmiennych niebazowych świadczyłaby o istnieniu większej liczby rozwiązań bazowych alternatywnych. Można byłoby je zidentyfikować, przechodząc do kolejnych baz.

Nawiązując do interpretacji geometrycznej zadania, przypomnijmy, że alternatywnym rozwiązaniem optymalnym jest również każdy punkt odcinka łączącego

^ j B, czyli każdy punkt spełniający zależność:

przy czym 0 ^ ź. s: 1. Jeżeli mamy większą liczbę alternatywnych bazowych rozwiązali optymalnych A₍.....A_k, to zbiór X_opt. alternatywnych rozwiązań optymal

nych otrzymamy, generując wszystkie możliwe kombinacje wypukłe optymalnych rozwiązań bazowych, co zapiszemy następująco:

X_op, = {P: P=Z\A_i),

i = I

gdzie 0 < kj < 1 dla / = 1, ..., k oraz X X, = 1. Zbiór X_opt punktów opisanych po-

wyższym wzorem nazywany jest simpleksem, stąd też wywodzi się nazwa omawianej przez nas metody.

1.4.3. Nieograniczony zbiór

rozwiązań dopuszczalnych

Może zaistnieć sytuacja, w której zbiór rozwiązań dopuszczalnych interesującego nas zadania nie jest pusty, a mimo to nie istnieje rozwiązanie optymalne tego zadania.

Przykład 1.5

Rozpatrzymy problem planowania produkcji, opisany w przykładzie 1.1, w którym występuje jedynie ograniczenie dotyczące środka S₃ (jego zużycie nie może przekraczać 16 jednostek) oraz sformułowane zostało dolne ograniczenie na łączną wielkość produkcji, która nie może być mniejsza od 3 jednostek. Zmodyfikowany problem można wówczas zapisać następująco:

/{*•„ x₂) = 2xi + 3jc₂ —» max,

4.r, sj 16,