100 44
96
Pozestawiamy czytelnikowi wyznaczenie wersora *' (odp.; #1(0,0,1».
W nowym układzie wyznaczonym werwami macierz naprężeń przyjmuje postać
Obie macierze naprężeń: daną oraz wyznaczoną w osiach głównych, przedstawimy graficznie. W rozważanym przykładzie punkt materialny w postaci sześcianu na rys. 3.4 możemy przedstawić w postaci kwadratu {rys. 3.11) albowiem w obu macierzach elementy trzeciego wiersza i trzeciej kolumny są równe zeru.
Rys. 3.11
1.10. Ekstremalne naprężenia styczno
powiadającego tej płaszczyźnie na tę właśnie płaszczyznę była ekstremalna?
Postawmy następujące pytanie: jaką płaszczyzną należy przeciąć bryłę 'przez dany punkt, w którym dana jest macierz naprężeń, aby miara rzutu wektora naprężenia, od-
Odpowiadając na to pytanie, dla uproszczenia rachunku, załóżmy, że macierz naprężenia w danym punkcie określona jest w układzie osi głównych (7, 2,3):
Przetnijmy bryłę płaszczyzną przechodzącą przez punkt B' o wersorze normalnej zewnętrznej r(o., ,o„2,a,j) określonym w przyjętym układzie (rys. 3.12).
Oznaczmy miarę rzutu wektora p0 na normalną przez cr,, zaś miarę rzutu na płaszczyznę przez t,. Poszukamy, jak wyraża się t, przez elementy danej macierzy naprężeń oraz poprzez współrzędne wersora e. W tym celu obliczmy najpierw współrzędne wektora p„. Zgodnie ze wzorem (3.17) mamy
Miarę rzutu wektora p„ na oś wyznaczoną wersorem * obliczamy «r„ - p,'» -
Tak więc kwadrat miary rzutu wektora p, na płaszczyznę będzie co wobec
.Wa -
daje
rj - orfa*, +cri«ił+<r5ai,-Gr1*5i+<T2*rt+<r,**,)2 - (JJ!)
Rys. 3.12
(4
Widać stąd, że r* jest funkcją trzech zmiennych a,,; możemy to wyrazić inaczej: różnym płaszczyznom o normalnej e przyporządkowana jest inna wartoćć t*. Jak podkreślaliśmy już w punkcie 1.8 tego paragrafu zmienne a,, nie są niezależne, wiąże je bowiem warunek (3.22).
Postawione na wstępie zadanie sprowadza się więc do znalezienia ekstremum funkcji (3.31) z warunkiem pobocznym (3.22). Obliczenia przeprowadzimy teraz nieco inaczej niż w punkcie 1.8; z warunku pobocznego jedną ze zmiennych, np. z,3. wyrazimy przez pozostałe i po podstawieniu do wzoru (3.31) otrzymamy funkcję dwóch tiukn-nych ctpi i a,2f która po pewnych przekształceniach przyjmuje postać
tp = (ff? - fff) «ii + ~ oj) a L+ffJ - [(<r, - a3) ^*{#*-* #a)*«t +'*)*• (3.32)
Warunek konieczny istnienia ekstremum tej funkcji jest następujący:
~ = 2(a2l-a2i)a.l-2t(ffŁ-ai)7il+(<T1-(Ti)a\i+c3]-2(<rl-9i)*,i »0, (3J3a)
*”**1
. * 2(«z|—ffS)*rt~2[(<rł--<rł)Bj;4+(02—ffj)«ij+<Zjj*2(<rł-^)3iej = 0.
m9i
I — WytetymaloSć matorUlów—
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
100 44 96 Pozestawiamy czytelnikowi wyznaczenie wersora * (odp.; #1(0,0,1». W nowym układzie wyznac
skanuj0031 (44) 96 katechizm Middletown — jest krajem, gdzie ostatecznie każdy ■otrzyma to, na co za
skanuj0015 (96) .Ć&sggggyrapp testem rozpoznasz mukowiscydoze- odp potowym, ^».w-«$tT)ieta-przyd
10044 Podatek rolny ► Podatnikami podatku rolnego są osob fizyczne. osoby paune,
10044 Rodzaje sklepień: ❖ kolebkowe - mające kształt połowy walca, ❖
100&44 • Sąd Hnryga, królowtca trojańskiego • (/kasował ją na drodzo ludziom rozma
100@44 ♦ Po wojnie- odczyty
18 (100) 44 2. Wybrane teorie dewiacji osiągania tych celów. Osoby, które nie są przestępcami, reali
27126 skanuj0031 (44) 96 katechizm Middletown — jest krajem, gdzie ostatecznie każdy ■otrzyma to, na
więcej podobnych podstron