10 (12)
163
Szeregi Fouriera
|
(84) |
^ j f(x)g{x)dx = X cj, — K |
|
(85) |
S |
Dowód. Będziemy stosować zapis
(86) |'/l|l2 = |^J|/»(x)|2dx}1/2.
—«
Niech będzie dana liczba e > 0. Ponieważ / e 3t i f(n) = /(— it), więc za pomocą konstrukcji opisanej w zadaniu 12 z rozdziału 6, otrzymujemy ciągłą 27c-okresową funkcję h, dla której
(87) Uf-h\\2<e.
Na mocy twierdzenia 8.15 istnieje wielomian trygonometryczny P taki, że |/i(x)—P(x)| < < e dla dowolnego x. Zatem ||h-P||2 <£• Jeżeli stopień wielomianu P wynosi N0, to z twierdzenia 8.11 wynika, że
(88) \\h-sN(h)\\2 ś \\h-P\\2 < e
dla N > No- Podstawiając h—f w miejsce/, na podstawie (72) mamy
(89) \\sN(h)-sN(f)\\2 = IMfe-/)||2 < \\h-f\\2 < e.
Nierówność trójkąta (zadanie 11, rozdział 6) w połączeniu z (87), (88) i (89) pokazuje, że
(90) ll/-s*(/)||2 < 3e {N> N0).
To dowodzi (83). Następnie równość
* N * N
(9D ^ j\v(/¥<*x=
—k —AT — tt -N
i nierówność Schwarza dają nierówności
(92) ni S U 1
w których wyraz po prawej stronie dąży do Oprzy N-* <x> na mocy (83). Porównanie (91) i (92) daje (84). Wreszcie (85) otrzymujemy jako specjalny przypadek (84) przy g— f Bardziej ogólna wersja twierdzenia 8.16 występuje w rozdziale 11.
n*
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
IMG84 Próg bólu • l0 =10 10 nW/cm2 • l0 = 1*10-12 W/m2 threshol
pole1 x; /: il 1 101342 10 FS, 12 SOF,ki 60i,o,2 2 44 84/25 g24 ,85 3 44 3
Wzory na całkiWłaściwości całek1.2. 3. 4. 5.6. 7.8. 9.10. 11.12. 13. 14. 15. 16.
DSC84 (13) H Proszę wyznaczyć współczynniki F* rozwinięci! w zespolony szereg Fouriera dla sygnału
10 12.graficznie przedstawia wzrosty i spadki napięć w obwodzie szeregowym 13.interpretuje prawo Ohm
skanuj0046 96 Dziecko jako sprawca przemocy seksualnej 10-12-letnich, oraz nadmierna gotowość do obn
więcej podobnych podstron