10 (29)

180

9. Funkcje wielu zmiennych

# ;2(ł%wynika natychmiast, że f jest ciągła w każdym punkcie, w którymjest®óżniezko« walna.

d) Pochodna zdefiniowana przez (14) lub (17) często jest nazywana różniczką f w x lub pochodną zupełną f w x dla odróżnienia od pochodny® Cząstkowy®, które pojawią się w dalszych ustępach.

9.14. PRZYKŁAD; Określiliśmy pochodną funkcji odwzorowującej R" w R"'jako operację liniową R“ w R^m. Jaka jest zatem pochodna odwzorowania liniowego? Odpowiedź jest bardzo prosta.

Jeżeli A e L{Rⁿ, R^m)bra: x e Rⁿ, to ¹(19) ' ' ' 4(x) = A.

Zauważmy, że x występuje po lewej stronie (19),2ecz nie występuje po prawej. Obie strony

(19) są elementami L(Rⁿ, /?"), natomiast Ax 6 R^m.

Dowód (19) jest natychmiastowy, gdyż z liniowości A mamy

(20) ^ . 4(x+h)-/ł(x)=/l(h).

Przy f(x) = A(\), licznik w (14) jest więc równy 0 przy dowolnym h e R". W (17) mamy więc i-(h) ^ 0.

Rozszerzymy teraz na przypadek wielu zmiennych regułę różniczkowania funkcji złożo-nej (twierdzenie 5.5).

9.15. TWIERDZENIE. Załóżmy, że Ejksiotwańym podzbiorem R",f odwzorowuje Ęk’ R^m, f jest różniczkowalne w punkcie x₀ £ 2* g odwzorowuje pewnien zbiór otwarty, zawierający f (E) w R^k i g jest różńięśkowalmŚ, w ^punkcie ffx©).'-"Wtedy odwzorowanie F zbioru E w R*, zdefiniowane wzorem

F(x) = g(f(x)X

jest różniczkowalne w punkcie x₀ i

mh * m bęm .* bo, =u_s ■>,*. (a tffaĄ (rw),«

Iloczyn dwóch przekształceń liniowych, występujący po prawej stronie wzoru (21), został zdefiniowany w ustępie 9Jj,.

Dowód. Przyjmijmy y₀ = f(xo),4 = f'(x₀), B = g'(y₀).i zdefiniujmy

u(h) = f(x₀+h)-f(x₀)- Ah, v(k) g g(y₀+k) -g^-Rk dla dowolnych h e R" i k e R^m, przy których f(x₀+ h) oraz g(y_Q+k) są określone. Wtedy (22) |u(h)| ps s(h)|h(, |v(k)f =

gdzie s(h)-»0 przy h->0 oraz tf(k)-*0 przy k-»0.

Przy danym h, niech k — f(x₀+h)-f(x₀). Wtedy

(23)

|k| = |4h+u(h)| <‘[f^_£(h)] |h(