248 XI. Szeregi potęgowe Zadania 249

Dla x — — 1 otrzymujemy

1 11111 (-1)"

Jadanie 11.27. Jeżeli a jest liczbą całkowitą, dodatnią, spełniającą nierówność a"^ ⁺ \ gdzie n jest liczbą naturalną, to do wyznaczenia przybliżonej wartości Va

1! 2! 3! 4! 5!

nl

Otrzymaliśmy szereg przemienny zbieżny. Jeżeli przerwiemy ten szereg na który_m. kolwiek wyrazie, to błąd sumy szeregu przemiennego będzie mniejszy co do bezwzglp^ wartości od pierwszego odrzuconego wyrazu. W naszym zadaniu wystarczy obliczyć

₅łuiy^c

l(i)

może wzór

nr— x 1

\JAxa-\——r,    gdzie x=A~a".

n a

1    111111

— 1 —---(-----1-----1--,

e    1! 2! 3! 4! 5! 6!

1 1

gdyż ■=:-

1! 5040

Łącząc wyrazy parami otrzymujemy

-!«—+— + i-=0,33333... +0,03333... +0,00134... «0,368. e 3    30 720

W obliczeniu numerycznym dochodzi jeszcze błąd zaokrąglenia wyniku, ale błąd ten łącznie z ułamkiem jest mniejszy od 0,001.

Zadanie 11.26. Obliczyć wartość a/3o z dokładnością do 0,001, posługując się rozwinięciem funkcji/(» = (1 +x)^s w szereg potęgowy.

Rozwiązanie. Ponieważ 30 = 3³ + 3, więc V3o można napisać w postaci

przystając z tego wzoru obliczyć V245.

Rozwiązanie. Ponieważ 245 = 3⁵+2, więc można przyjąć, że ,4=245, n = 5, a = 3, _t=2 i stosując wzór (1) otrzymujemy

^245 * ³ +4■ Ł = ■3 + ~ =3,0049.

5 3    405

Zadania

Obliczyć promień zbieżności szeregu i zbadać jego zbieżność na krańcach przedziału zbieżności (zad. 11.28 - 11.55):

^30 = v''3³+3 = 3^/l+p = 3(l+i)^ł.

Rozwijamy w szereg potęgowy funkcję/(*) = (! +x)^ł, gdzie |jc| < 1; mamy

00 yj*

11-28. Z *

n = l y/n

co 2ⁿ

11.30. Z -*\

n = o n +1

co en

11.32. Z-3*-.

n = 1 n

00 Yⁿ

11.29. Z — ■

n=1 n • 5"

^1L3L .£3=^

H.33. £

„=o 10"

, i i(ż-l) . ż(ż-l)(|-2) ₃

(l+X)^ł=l+^X+³-żiy-Zx²+³-³-^^- X³ + ...,

11.34. Z (cos n)xⁿ. Wskazówka. Porównać z rozwiązaniem zadania 11.7.

skąd

(1 +x)^ł = l+§*-|x²+^x³-...

Podstawiając x = | otrzymujemy

U .35. £ (sin²-)*".

»=i\ n

11.36. Z

2³"^-1 -n³

^30=3(1+H-5-8T+irr7is--").

Otrzymany szereg jest przemienny. Jeżeli ograniczymy się do trzech wyrazów, to bl? będzie mniejszy niż    a ponieważ ułamek ten jest mniejszy od więc ^waI

^3Ó»3(l+i-i-i-^)

będzie obliczona z błędem mniejszym od 0,001. Obliczenie daje

V3Ó»3 (1 +0,037037... - 0,001371...) = 3 • 1,035666... * 3,107, przy czym błąd zaokrąglenia nie wpływa na ocenę dokładności przybliżenia.

^U-37. Z»!x".

n = 0

^ ⁰⁰

¹¹-³⁹- Z ~x\

n=l tli

H.4Ł y n'-(n+2)l

» = i (2n)!

U.43. yi^Ly »=i n"(2n)!    '

„^₂(n²-D5" “ (n² + n) 2²"

11-38. Z J

n — 1 i

⁰⁰ nl

^nM■

11.42. i 2^.. _n=o (n !)²

⁰⁰ 2ⁿ + n²

11.44. ZV^3^"-, = o3’ + «³