1 (10)

•one w definicji 1.12. strukturę ciała.)

= a—bi będziemy nazywali liczbą sprzężoną do z. Liczby a i b stanowią odpowiednio częśc rzeczywistą i część urojoną liczby z.

Czasami będziemy stosowali zapis

^+e> ^d+f) = x+(y+z).

a = Re z, b — Im z.

1.31. TWIERDZENIE. Jeżeli ziwsą liczbami zespolonymi, to: a) z+w — z+w;

f+ade+bce) = (a, b)'

b)    źw = źvv;

c)    z+z — 2Rez, z—z = 2i Imz;

d)    zź jest dodatnią liczbą rzeczywistą (z wyjątkiem z = 0).

Dowód, a), b) i c) są całkiem oczywiste. Dla dowodu d) napiszmy z = a+bi i zauważmy, że zź = a²+b².

i z liczb rzeczywistych i możemy określić

1.32. Definicja. Jeżeli z jest liczbą zespoloną, to wartością bezwzględną liczby z, którą oznaczymy |z|, nazywamy nieujemny pierwiastek kwadratowy z zz; to jest |z| = (zz)^1/2. Istnienie (i jednoznaczność) |z| wynika z twierdzenia 1.21 i części d) twierdzenia 1.31. Zauważmy, że w przypadku kiedy x jest liczbą rzeczywistą, mamy x = x, a więc W = yjx². Zatem |x| = x, jeżeli x > 0, oraz |x| = — x, jeżeli x < 0.

l “ (ac—bd, ad+ bc)+

1.33. TWIERDZENIE. Niech z i w będą liczbami zespolonymi. Wtedy:

a)    |z| >0,o ile tylko z # 0; |0| = 0;

b)    |ź| = z;

c)    |zw| = |z| |w|;

d)    |Rez| < |z|;

t,0)+{b,0)=*(a+b,0),

e) |z+w| < |2|+|w|.

Dowód, a) i b) są oczywiste. Niech z = a+bi, w = c+di, gdzie a, b, c,d są liczbami rzeczywistymi. Wtedy

•ją te same własności c identyfikować (a, 0) b jako podciało ciała

|zw|² = (ac—bd)²+(ad+bc)² = (a²+b²) (c²+d²) = |z|²|wj²,

czyli Jzłv|² = (|z) jw|)². Teraz c) wynika z tezy twierdzenia 1.21.

Dla dowodu d), zauważmy, że a² ^ a²+b², a więc

ych bez jakiejkolwiek teraz, że notacja (a, b)

|a| = ^/a² < Ja²+b².

Dla dowodu e), że zw jest liczbą sprzężoną do zw i wobec tego zw+źw = 2 Re (zw)- Zatem

= a+bi.

|z+w|² = (z+w) (z+w) = ZZ+ZW + ZW+ ww =

= |z|²+2Re(zw)+|w|²‘< |z|²+2|zw|+|w|² =

= lz|²+2|z||w|+|w|² = (|z|+|w|)², i e) wynika stąd przez wyciągnięcie pierwiastków kwadratowych.

1.34. NOTACJA. Jeżeli x_t,...,x„ są liczbami zespolonymi, to napiszemy

»liczbę zespoloną z —

n

X_ł + X₂+...+X_B= Sx;.

J«ł

2 - Podstawy analizy matematycznej