1tom015

1. WYBRANE ZAGADNIENIA Z MATEMATYKI I FIZYKI 32

Pole wektorowe a nazywa się różniczkowalnym, jeżeli istnieją pochodne cząstkowe jego współrzędnych, przy czym np.

1. WYBRANE ZAGADNIENIA Z MATEMATYKI I FIZYKI 32

da f ca_x

8x |_ ’

ją lub n wektoro

₌

\ dy dz) \ dz dx) \ dx dy )

is.

da.

r]

Rotacją lub wirowością różniczkowalnego pola wektorowego a = [a_x, a_y, a,] nazywa się pole wektorowe określone wzorem

rota

gdzie i J , k są to odpowiednio wersory osi Ox, Oy, Oz, lub w zapisie symbolicznym

rota =

i j Tc

d d d

, w którym np.

d d

da, da*

dx dy dz

dx dy

a x ti_y a_x

a_x a_y

Pole wektorowe a', dla którego rota =0 nazywa się bezwirowym.

Dywergencją lub rozbieżnością różniczkowalnego pola wektorowego a nazywa się pole skalarne określone wzorem

- da_x

diva =

da da₂+ —^Ł +—-oy dz

Pole wektorowe, dla którego diva =0 nazywa się polem bezźródlowym.

Jeżeli pole skalarne ma drugie pochodne cząstkowe, to laplasjanem pola skalarnego nazywa się dywergencję gradientu pola skalarnego, oznaczoną symbolem A, tzn.

. .. , d²<P , S²(p d²q>

Atp = divgrad<p = ~dx^⁺~dy²⁺~dz²'

W celu uproszczenia zapisu działań na polach skalarnych i wektorowych wprowadza się tzw. operator Hamiltona zwany również operatorem nabla, będący symbolicznym wektorem V postaci

[_ dx ’ dy ’ dz J

A więc w tym zapisie:

Vę> = grad tp, Vo' — div Vxa=rot'a, A = V-V = V²

W tablicy 1.6 przedstawiono złożone operacje wektorowe w zapisie tradycyjnym i „nablowym”.

Całką liniową pola wektorowego a = [a_x, a_y, aj ciągłego wzdłuż gładkiego luku skierowanego AB nazywa się całkę postaci

j a^d^ + a^dy+ajdz = £a,dł= Jad/ aS a$ aS

gdzie: / jest parametrem naturalnym luku AS, a_t =~a-l, l —wersor styczny do AB, zgodnie z nim skierowany.

Cyrkulacją pola wektorowego~a nazywa się całkę liniową, po gładkiej skierowanej linii zamkniętej bez punktów wielokrotnych

J a, dl = J a ■ d/

c c

Tablica 1.6. Operacje wektorowe, złożone

Lp.

Zapis tradycyjny

Zapis „nablowy”

OO Nj IA 4. U IO -

grad (ę> • <Ż) = Ó grad f+O grad \fi di v((DO) = (grad <p) ■ a + ę divo^ rot (<pa) = (gradę>)xa + (protu ~a rot(<po) = (<pa)rota rot rota = grad diva -div(a x 6) = b rota - a rot b jadł = jjrotadS^l)

Ł _ s

gadS = J{{divadF²¹

s V

V(<p • i}/) = iJ/V<p +

V • (<pa) = V<pa + <pVa

V x (<pa) = V<p x a+<pV x a a[Vx(<pa)] = <pa • (V xa) Vx(Vxa) = V(Va)-V^zn V-(a xb) = b (Vxa) — a (Vxb) jadł = JJ V x a dS

L S

§adŚ = JfJVadK

s V

jes

u Twierdzenie Stokcsa; a — pole wekterowe o ciągłych pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu, — powierzchnia zorientowana o brzegu L skierowanym, przy czym skierowanie brzegu i orientacja powierzchni zgodna z orientacją przestrzeni; dl = / dl, gdzie / — wektor styczny do L, zgodnie z nim skierowany.

²⁾ Twierdzenie Greena-Gaussa-Ostrogradskiego G.G.O.; S — gładka zamknięta powierzchnia, zewnętrznie rientowana wektorem n, ograniczająca obszar V; dS = ndS.

Strumieniem pola wektorowego a przez zorientowany piat powierzchniowy S nazywa się całkę powierzchniową

jJfl-ndS = jfa„dS = JJa dS

s s s

gdzie: ~n = [cosa, cos/?, cosy] wersor normalny do S; dS = ri-dS.

1.2.6. Podstawowe metody rozwiązywania niektórych równań różniczkowych zwyczajnych

Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n-tego nazywa się równanie postaci F(x, y, y\... ,y^M) = 0, gdzie y = y(x) jest funkcją niewiadomą. Jeżeli funkcja F jest liniowa względem y(x) i jej pochodnych do n-tego rzędu włącznie, to równanie nazywa się liniowym.

Rozwiązanie ogólne równania różniczkowego rzędu n-tego jest n-parametrową rodziną funkcji postaci y = y(x, c,,...,c_). Stałe c_j( i = 1,2,...,n można wyliczyć

z warunków początkowych postaci y^<*⁾(x₀) = yo. k = 0,1.....n —1, które musi spełniać

funkcja i jej pochodne do (n—1) rzędu włącznie, w ustalonym punkcie (x₀, y₀).

Podstawowe typy równań różniczkowych rzędu pierwszego są następujące:

1. Równania różniczkowe o rozdzielonych zmiennych

y' =f(x)-g(y), g(y) # 0 — rozwiązanie ogólne

2. Równanie liniowe niejednorodne y' + a(x)y = b(x)

— rozwiązanie ogólne y(x) = c(x) j e^_“^wdx gdzie c(x) = J [>(x) • dx + A

Nieliniowe równania różniczkowe rzędu pierwszego wymagają specjalnych metod rozwiązywania. Niejednorodnym liniowym równaniem różniczkowym rzędu n-tego nazywa się równanie postaci 3 Poradnik inżyniera elektryka tom