1tom074

4. INFORMATYKA 150

Tablica 4.10. Zera wielomianów Hermite’a i współczynniki kwadratury Gaussa-Hermite’a

n	Węzły aj	Współczynniki H}	n	Węzły aj	Współczynniki H ■
2	+0,707107	0,886227		+ 1,650680	0,081313
3	0	1,181636	5	+ 1.650680	0.945309
	+ 1,224745	0,295409		±0,958572	0,393619
4	±0.524648	0,804914		±2,020183	0,019953

Tablica 4.10 zawiera zera wielomianów Hermite’a i współczynniki kwadratury Gaussa-Hermite’a dla n = 2,3,4,5. Wielomiany Hermite'a spełniają wzór rckurencyjny

H„₊i(x) = 2xH_n(x) — 2nH_n_,(x) (n > 1)

Przykład 45. Obliczyć przybliżoną wartość całki

aC

J e'*^{1 2 3}cosxdx

dla n = 5 stosując kwadraturę Gaussa-Hermitc’a.

Korzystając z tabl. 4.10 oblicza się

j e-*‘cosxdx = 0,945309cos0 + 0,393619 cosO,958572 + 0,393619 cos( — 0,958572)+

+ 0,019953 cos2,020183 + 0,019953 cos(-2,020183) = 1,38039048 4.5.2.2. Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych

Dane jest równanie różniczkowe

dy

~t~ =/(*. y)

ax z warunkiem początkowym y(x₀) = y₀, gdzie funkcja f(x,y) jest ciągła w pewnym przedziale x₀ ^ x ^b, — oo < y < oo oraz spełnia warunek Lipschitza względem y

\f(x,yi)~f(x,y₂)\    L\y_t-y₂\ (L — stała)

dla każdego x i dowolnych y_lty₂-

Przyjmując pewien krok h > 0, buduje się ciąg punktów x„ = x₀ + nh, (n = 0,1,2,...). Numeryczne rozwiązanie równania różniczkowego polega na znalezieniu w punktach x„ przybliżenia y„ wartości rozwiązania dokładnego y(x„), (n = 0,1,2,...).

Metoda Eulera rozwiązywania równania różniczkowego polega na przybliżeniu szukanej krzywej całkowej y = y(x) linią łamaną o wierzchołkach w punktach (x₀,y₀), (.x₁₅(.x„,y„), gdzie

x„ = x₀ + ⁿh

yn = y_n-i+hf{x„-i,y„-i) («= 1,2,...)

Oszacowanie błędu metody w n-tym kroku, czyli oszacowanie różnicy między wartością dokładną rozwiązania y{x_n) a jej przybliżeniem y_n, wyraża wzór

hN

|y„-y(xj| « —    (4.11)

gdzie: L — stała w warunku Lipschitza; N — stała spełniająca nierówność

cl/(x, >’(*))

y„₊i. = y„+ y b/(*„,y„) (n = o, 1,2,...)

a następnie znajduje się wartość przybliżenia dla n+ 1 kroku

y„+i = y„+hf(x_nĄ,y_n+^ (u = 0,1,2,...)

Oszacowanie błędu metody jest następujące:

Ir (    N.\(l + hL + 2h³L³)"-l

— I /V -1--I-

1H--hL

2

4.5.2.3. Roz-wiązywanie równań i układów równań liniowych

Dana jest w przedziale [a,b] funkcja /(x), która spełnia warunki:

—    jest dwukrotnie różniczkowana w przedziale [a,b];

—    na krańcach przedziału ma wartości o znakach przeciwnych, tzn.f(a)f(b) < 0;

—    obie pochodne f'(x) i f"(x) w przedziale (a,b) są tego samego znaku.

Z powyższych założeń wynika, że równanie

f(x) = 0

ma w przedziale (a,b) dokładnie jeden pierwiastek .x₀. Ogólnie przyjętymi metodami obliczania przybliżonych wartości pierwiastka x₀ są metoda siecznych i metoda stycznych (Newtona).

Metoda siecznych (rys.4.1) polega na tworzeniu ciągu przybliżeńAj.A^... pierwiastka x₀. gdzie x_; (i = 1,2,...) są punktami przecięcia siecznych krzywej y = f(x) z osią 0x, poprowadzonych przez krańce przedziałów D_x (i = 1,2,...). Ciąg D_l, Ź)₂,... jest zstępującym ciągiem przedziałów' domkniętych określonych następująco:

D, = [mb]

°2 = L^xi.b], gdy f(x_l)f(h) < 0 lub D₂ = [a,a,], gdy/(x,)/(a) < 0 O₃ = [x₂,b] lub D₃ = [a,x₂],...

Kolejne przybliżenia określają poniższe wzory

m

^x2 = a, - —^X\ ^U /(ai). gdy/(Ai)/(a) < 0 lub

/(a,)-/(a)

*2 = A, - ^X\ ^b f(A,), gdy/(A,)/(b) < 0 /(Ai)—/(b)

"    /(A„)-/(«)^J    ---------^-- --    /(A„)-/(b)-

Błąd metody E_n, dla n-tego przybliżenia x„, można oszacować według wzoru -    /(a„)|

1

Ulepszona metoda Eulera jest dokładniejsza od podanej zwyczajnej metody Eulera

2

polega na tym, że w punkcie x„₊l = x_n + —h oblicza się wartość

3

2

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
1tom072 4. INFORMATYKA 146 Tablica 4.6. Diagram Trasera Wartośćm zależy od węzta środkowego a0, krok
3tom330 10. TECHNIKA ŚWIETLNA 662 Tablica 10.32. Wartości cząstkowego współczynniku utrzymania przew
3tom331 10. TECHNIKA ŚWIETLNA 664 Tablica 10.35. Wartości cząstkowego współczynnika utrzymania «6 pr
Tablica 3-10. Dopuszczalne naprężenia obliczeniowe i współczynnik sprężystości tworzywa Parallam PSL
skanuj0008 (427) Tablica 2.10 Wartości odkształceń skurczu betonu zwykłego £s0 [%o] Wiek betonu w
Skrypt PKM 1 00038 76 oraz M < 1,77-107-150 = 2,658-10’ [N mm], Mś 2,66-10* [Nin]. Siły przenoszo
skanowanie0013 (84) Materiały do zajęć z ogrzewnictwa Tablica 1-10. Wartości obliczeniowe współczynn
150 Essai 10    (26-03-2007) Conditions operatoires de 1’essai Densite de
IMG#71 (4) 10.    EKSPLOATACJA STACJI ELEKTROENERGETYCZNYCH Tablica 10.1. Sprzęt ochr

więcej podobnych podstron