215

Rozdział XXII

CAŁKOWANIE PRZYBLIŻONE

§ 22.1. UWAGI OGÓLNE

Jak wiadomo z rachunku całkowego, nie wszystkie całki funkcji ciągłych dają się wyrazić przy pomocy skończonej liczby funkcji elementarnych. Do takich należą np. całki

W przypadku gdy musimy obliczyć np. całkę

i

jxtg xdx lub

o

musimy korzystać wyłącznie z metod przybliżonych. Również w sytuacji, gdy wprawdzie bezpośrednie obliczenie całki oznaczonej jest możliwe, ale bardzo pracochłonne, często w praktyce do jej obliczenia stosuje się metody przybliżone, które mogą okazać się bardziej wygodne i szybsze.

§ 22.2. METODA TRAPEZÓW

Mamy obliczyć przybliżoną wartość całki funkcji ciągłej /(x) w przedziale a<xśb, tj. całki

(22.1)    \f(x)dx.

a

Przedział całkowania dzielimy na pewną liczbę n przedziałów częściowych, wszyst' kich o tej samej długości (b — a)/n; kolejne odcięte punktów podziału oznaczamy P^rzeZ a — x₀, x,,...,    x„ = 6, odpowiednie zaś rzędne przez

ki =/(•*■/)    (i = 0, 1, ..., n).

Jako przybliżoną wartość całki (22.1), przy założeniu, że /(x)>0 dla a^x^b. przyj' mujcmy w metodzie trapezów sumę pól n trapezów. Łatwe obliczenie prowadzi do

yvzo ru    _b

I*    ba

(22.2)    \f(x)dxx [y₀ + y_n+2 (y, + y₂ +... + y„ _ j)].

b — a

gjąd bezwzględny nie przekracza ^ ₂ M₂, gdzie M₂ jest górnym ograniczeniem wartości

bezwzględnej drugiej pochodnej funkcji f{x) w przedziale całkowania, tzn. taką liczbą, X \f"(x)\ś:M₂ dla aśx^b.

i

Przykład. Obliczyć \e*² dx metodą trapezów przyjmując n = 5 oraz oszacować błąd. o

Rozwiązanie. Mamy tutaj x_o=0, x₂ =0,2, *2=0,4, x₃ = 0,6, jc₄ = 0,8, x_s = 1. Odpowiednie wartości funkcji podcałkowej odczytujemy z tablic wartości funkcji wykładniczej e^x\

e^0,04 a 1,0408,    e°’¹⁶al,1735,    e°^l36al,4333,    t-^0>54« 1,8965.

A więc stosując wzór (22.2) otrzymujemy

i

J e*² dx = 0,l •(! -ł-2,7183 -t-2 • 5,5441) = 1,4807.

Dla oszacowania błędu obliczamy drugą pochodną funkcji f(x)=e^x . Mamy

/'(*) = 2xe*²,    /"(*)=( 2+4x²)e*².

W przedziale całkowania druga pochodna przyjmie największą wartość dla x=l, bo oba czynniki są funkcjami rosnącymi w przedziale całkowania; mamy /"(I) = 6e, a więc możemy przyjąć M₂ = 6e. Tak więc błąd bezwzględny nie przekracza

—— • 6ex 0,0544.

12-25

Ponieważ f"(x)> 0, więc metoda trapezów daje wynik przybliżony z nadmiarem.

§ 22.3. METODA SIMPSONA

Przedział całkowania a^x^b dzielimy przy metodzie Simpsona na parzystą liczbę ^ {n = 1,2,...) równych części.

Rozważmy najpierw przypadek n = 1; mamy obliczyć przybliżoną wartość

$f(x)dx, gdzie /(*)2s0.

x₀

Oznaczmy środek przedziału przez x_lt a odpowiadające wartościom x₀,x_t,x₂ rzędne Przez y₀,yi,y₂- Metoda Simpsona polega na tym, aby funkcję podcałkowąf(x) zastąpić Przez tak dobrany trójmian kwadratowy y=ax² + px+y, aby wartości jego dla Xq, x₂, x₂ tyły równe odpowiednio wartościom funkcji/(x₀) =yo,f(xi)=yi,f (x₂)=y₂. Nietrudny

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
0929DRUK000017
25 ROZDZIAŁ IIIRUCH DZIENNY NIEBA. 27. Uwagi ogólne. Ody obrany został na niebie jaki
94296501 ROZDZIAŁ XV.WYDALINY. Napisał K. Panek. Uwagi ogólne. Składniki odżywcze, wessane w przew
CCF20091120032 połączonej z tą właśnie klasową solidarnością. Jak wiadomo, jego zasady nie obowiązy
Fizyka jądrowa w ośrodku warszawskim (rozmowa ze Zdzisławem Wilhelmim) Jak wiadomo, tak się nie stał
430 XXII. Całkowanie przybliżone rachunek prowadzi do wzoru 430 XXII. Całkowanie przybliżone (22.3)
golf6 Pomoc własna Uwagi ogólne przy zakłóceniach eksploatacyjnych W poszczególnych rozdziałach nin
skanuj0024 Rozdział 6WYMOGI PRAWNO-TECHNICZNE LOKALIZACJI OBIEKTÓW PRODUKCJI ROLNEJ6.1. Uwagi ogólne
img135 10. METODY CIĄGOWE10.1. Uwagi ogólne W tym rozdziale omówimy trzy spośrod wielu znanych metod
Rozdział 1Przedmiot prawa cywilnego i jego systematyka1. Uwagi ogólne Zasadniczym podziałem norm sys
Prawo i p k s V Konarska Wrzosek (18) Rozdział 21ZABEZPIECZENIE MAJĄTKOWE1. Uwagi ogólne Zabezpiec
Prawo i p k s V Konarska Wrzosek (91) Rozdział 27NADZWYCZAJNE ŚRODKI ZASKARŻENIA1. Uwagi ogólne po

więcej podobnych podstron