2 (6)

Zadania

22.    Niech X będzie zupełną przestrzenią metryczną, a G_n - ciągiem gęstych i otwartych podzbiorów X.

00

Udowodnić twierdzenie Baire'a, a mianowicie, że G_H nie jest zbiorem pustym. (W istocie jest on nawet gęsty w X.)

i

Wskazówka. Skonstruować zstępujący ciąg otoczeń E„ taki, że E„ c. G„ i zastosować zadanie 21.

23.    Niech {p*} i {q_n} będą ciągami Cauchy ego w przestrzeni metrycznej X. Pokazać, że ciąg d{p_H, q_n) jest zbieżny.

Wskazówka. Dla dowolnych m i n

d(p_mq_H) < d{p_H, p_m)+d{p_m, q_m)+d{q_m, q„);

wynika stąd, że \d(p„, q_n)—d{p_mt q_m)\ jest małe przy dużych m i n.

24.    Niech X będzie przestrzenią metryczną.

a)    Dwa ciągi Cauchy’ego {p_n} i {q„} elementów X nazwiemy równoważnymi, jeżeli

lim d(p_m q_n) = 0.

Udowodnić, że jest to relacja równoważności.

b)    Niech X* oznacza zbiór tak otrzymanych klas równoważności. Dla P e X*_f Q e X*_f {p_n} e P, {q_H} e Q określmy

d(P, 0= lim d{p,„ q„).

n-*<O

Na mocy zadania 23 powyższa granica istnieje. Pokazać, że wartość A(P, Q) nie ulegnie zmianie, jeżeli ciągi {p„} i {q„} zastąpimy ciągami równoważnymi i że d(P, 0 określa metrykę w X*.

c)    Wykazać, że tak otrzymana przestrzeń metryczna X* jest zupełna.

d)    Dla każdego p e X rozważmy ciąg Cauchy’ego, którego wszystkie wyrazy są równe p. Niech P_p oznacza element X* zawierający ten ciąg. Udowodnić, że

MPpy P_q)= d(p, q)

dla dowolnych p, q e X. Mówiąc inaczej, odwzorowanie 95 określone wzorem ę(p) = P_p jest izometrią (tj. odwzorowaniem zachowującym odległości) z X do X*.

e)    Udowodnić, że <p(X) jest gęsty w X*> i że <p(X) = X* w przypadku kiedy X jest przestrzenią zupełną. Na mocy d) możemy identyfikować X z ę>(X), a więc traktować X jako zanurzoną w zupełną przestrzeń metryczną X*. Będziemy nazywać X* uzupełnieniem przestrzeni X.

25.    Niech X będzie przestrzenią metryczną, której elementami są liczby wymierne z metryką d(x, y) = |x- y\. Co jest uzupełnieniem tej przestrzeni ? (Porównaj zadanie 24.)

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Lemat 6. Niech (Q,A,p) będzie zupełną, a-skończoną przestrzenią mierzalną, X - zupełną ośrodkową
6 (28) 101 Zadania MB. Niech/będzie dwukrotnie różniczkował na na %a, b},f(a) < 0 ,f(b) > 0 J
Zadanie 7Zadanie 7 Niech f (x, y) będzie w pewnym języku zdefiniowana jako { if y>0 then x + &quo
8 (17) 143 Zadania 14. Niech/ będzie ciągłą funkcją rzeczywistą określoną na R mającą własności: 0
Zmienna losowa Niech będzie dana przestrzeń probabilistyczna (Q,<5TP) Definicja 1. Zmienną losową
ASD k1 11 2005 4 Zadanie 4a Niech V będzie obustronnie nieskończonym wektorem liczb naturalnych, in
SAM
28 Funkcje zdaniowe jednej zmiennej. Niech będzie dana przestrzeń 0.Definicja. Wyrażenie <p(x
Twierdzenie 1.6 £d jest przestrzenią metryczną zupełną.4 Definicja 1.2 Niech a, b 6 Rrf. Odcinkiem
Twierdzenie 7. [10, Twierdzenie 8.1.4] Niech (fl, A, p) będzie zupełną a - skończoną przestrzenią
strcna 1/8 PRZESTRZENIE METRYCZNE: Niech x*0 i niech każdej parze elementówx,yex przyporządkowana bę
Zadanie 10. Niech IT będzie przestrzenią wielomianów o współczynnikach rzeczywistych Na IT określamy
img009 Wykład 1Przestrzenie metryczne Niech Z będzie ustalonym zbioresi Jakichkolwiek obiektów, któr
§3.3. IY-16 Twierdzenie 2. * Niech V będzie przestrzenią wektorową, a f : V1 —> F funkcją wieloli
gallery 78065328 500x500 Wstań więc i działaj, a Pan niech będzie z tobą! 1 Kronik 22:16

więcej podobnych podstron