4512
50 Wielonuiay
4-3 •) -1.2, -3; b) 2;c) 1, -2.3: d) wielomian nie ma pierwiastków całkowitych, sówka. Wjłon^U/ uwagę a przykładu 4.3 c).
4.4 a) 2.-i,-i; b) j,-j; c) j; d) wielomian nic ma pierwiastków wymiernych.
4.5 a) 2 - 3i, 2 -f 3»; b) 1 - 3*. 2 + i; c) lV3. -lytf, iVo, — iv/5; d) --• j'-*.
• 3 v» V§i
%/?(! +i).-V$(l+t).
4.6 a) -«, y/2;b)l + 3i. v/j, - c) 2 - i. 1 + 2i. 1 - 2i; d) -i. y/2i, 1 + i, 1
11 +i, 2+ Jii, i.
4.7 a) 31* + 80; b) v^r - 2; c) 3t3 + 3; d) 3z - 1; o) -18* + 58; f) r + 14.
4.8* x moje być dowolną liczbą rzeczywistą lub i, -i, — i + i-~, — I - i~.
Piąty tydzień
Zasadnicze twierdzenie algebry (2.3). Ułamki proste (2.4).
Przykłady
• Przykład 5.1
Podać przykłady wielomianów zespolonych najniższego stopnia, które spełniają podane warunki:
a) liczba 1 jest pierwiastkiem podwójnym, a liczby 2, 3, 1 + i są pierwiastkami pojedynczymi tego wielomianu;
b) liczba 2 - 3i jest pierwiastkiem podwójnym, a liczba 2 + 3i jest pierwiastkiem poczwórnym tego wielomianu.
Rozwiązanie
W rozwiązaniu wykorzystamy twierdzenie o przedstawianiu wielomianu zespolonego w postaci iloczynu dwumianów. Jeżeli liczby zespolone *j, x3, .... zm są pierwiastkami wielomianu IV o krotnościach odpowiednio ki, k3, ..km, to
W(»)*e(*-*,)*' -(*-gs)* • .-(.--^
gdzie c 6 C\ {0} jest współczynnikiem tego wielomianu przy najwyższej potędze.
a) Przykładem wielomianu spełniającego podany warunek jest wielomian postaci:
W(t) t=c(z- l)3 ■ (, - 2) • (m - 3) • (* — (1 +«•)],
gdzie c € C\{0). Wielomiany tej postaci są jedynymi wielomianami najniższego stopnia, które spełniają ten warunek.
b) Przykładem wielomianu spełniającego podany warunek jest wielomian postaci:
W(.) = e(* - (2 - 3i)f • (* - (2 ||jj!
gdzie c € C\ {0). Wiełomiany tej postaci są jedynymi wielomianami najniższego stopnia, które spełniają ten warunek.
ma u//mm .^vwv
I_
Piąty tydzień • przykłady 51
• Przykład 5.2
Podać przykłady wielomianów rzeczywistych najniższego stopnia, które spełniają podane warunki:
a) liczby 0,3 oraz -i są pierwiastkami pojedynczymi tego wielomianu;
b) liczby 1 + 2i, -5 są pierwiastkami pojedynczymi, liczba 0 jest pierwiastkiem podwójnym, a liczba ~3i jest pierwiastkiem potrójnym tego wielomianu.
Rozwiązanie
W rozwiązaniu wykorzystamy twierdzenie o pierwiastkach zespolonych wielomianu rzeczywistego. Jeżeli liczba zespolona xc jest pierwiastkiem A-krotnym wielomianu rzeczywistego, to liczba zg także jest pierwiastkiem k1krotnym tego wielomianu. Wykorzystamy takie twierdzenie o przedstawiania wielomianu rzeczywistego w postaci iloczynu dwumianów lab trójmianów rzeczywistych. Jeżeli liczby Z|, tj,.... i, są pierwiastkami rzeczywistymi wielomianu rzeczywistego H' o krotnościach odpowiednio ktl tj,..., kr oraz liczby zespolone ij, 23,x,, gdzie Im:3 > 0 dla 1 $ j ^ s, są pierwiastkami istotnie zespolonymi tego wielomianu o krotnościach odpowiednio h, Ij.....to
W(t) = «(x-xJ)1‘ • (x-xj)2 r,)1'
x(1a+pi1 + fi)‘ł (1,+Rz1 + fj)l,-...(1a+p.z + f#)1'.
gdzie a € Jf \ {0} jest współczynnikiem wielomianu U’ przy najwyższej potędze, a baby Pi, fi, PJi ffi. • • •. Pi> 9» H określone przez równości
Pj = -2RCZJ, f, »|z>P dla 1 < s.
n) Ponieważ liczba -i jest pojedynczym pierwiastkiem zespolonym szukanego wielomianu rzeczywistego, więc takie liczba -i = i jest jego pierwiastkiem pojedynczym. Przykładem wielomianu rzeczywistego najniższego stopnia, którego pierwiastkami jednokrotnymi są liczby: 0,3, i, -i jest wielomian
W[t) = ax(x - 3)(r - i)(x + i) = n1(r - 3) (x1 +1),
gdzie a € Jl\{0}. Wielomiany tej postaci są jedynymi wielomianami rzeczywistymi stopnia 4, których pierwiastkami są liczby 0,3, i,-i.
b) Ponieważ liczba 1 + 2i jest pojedynczym pierwiastkiem zespolonym szukanego wielomianu rzeczywistego, więc także liczba 1 +2i - 1 - 2i jest jego pierwiastkiem pojedynczym. Podobnie, skoro liczba -Ji jest potrójnym pierwiastkiem zespolonym tego wielomianu, więc także liczba -3i 1 3i jest jego pierwiastkiem potrójnym. Przykładem wielomianu rzeczywistego najniższego stopnia, którego pierwiastkami pojedynczymi są liczby: -5,1 + 2i, 1 - 2i, pierwiastkiem podwójnym jest 0, a pierwiastkiem potrójnym są liczby 3i oraz -3i jest wielomian
W{z) = «xa(x + 5) [z - (1 + 20H1 - (1 - 2i)} .(z-3i)1 (i + 3.)»
= «xa(r + 5) (za - 2r + i) (xa + 9)1,
gdzie a € R \ (0). Wielomiany tej postaci aą jedynymi wielomianami rzeczywistymi stopaia 11, które mają wymienione wyżej pierwiastki wielokrotne.
Przykład 5.3
Podane wielomiany zespolone przedstawić w postaci iloczynu dwumianów: n) i:7 - 4; b) x3-3xa + 3z-1+8i; c) zĄ - (1 - i)4.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
142 VIII. Algebra Rozwiązanie. Po stwierdzeniu, że dane równanie nie ma pierwiastków wymierny^ oblic
31 (614) 00 Punkty osobliwe i residua mianownik nie ma pierwiastków rzeczywistych oraz jego stopień
1 Liczby zespolone1.1 Definicja liczby zespolonej Wiadomo, że równanie x2 + 1 — 0 nie ma pierwiastkó
img080 01 djvu 50 Nie ma dozorca mocy grzbietów naszych ranić. Międzi nami i panem gdyby zaszła spra
skanowanie0022 (50) kompetentna. Gdy ich brak, obecność sygnału nie ma dla komórki znaczenia- jej oz
IMG?50 (2) Unri że coś tam jest 11 i teraz SI jg nic nie ma, bo to pra^, 1U2na prądzie. /e to samo..
page0253 249 gdy pierwiastek życia w zwierzęciu nie ma samodzielnego, własnego bytu, tylko zależny o
50 Kornelia Batko, Grażyna Billewicz - zorientowanie usług na klienta - nie ma ogr
KULTUROWE TEORIE OSOBOWOŚCI W lalach 50-60 były obiecujące. Teraz nie ma czegoś takiego. -
Twierdzenie 2 Wielomian stopnia n posiada maksymalnie n pierwiastków. Jeśli wielomian f(x) stopnia n
50 51 (2) 50 50 (1.2) 25Jł + “l1 ♦ u4 = 2® 1 ® przy czym orientacja napięć u^i Ug,
więcej podobnych podstron