4 (4)
84
4. Ciągłość
Aby wyliczyć tę sumę, należy dodać wszystkie c„ o takich wskaźnikach, że x„ < x. Jeśli i lewo od x nie ma punktów x„, to suma jest pusta i, jak wynika z ogólnej reguły, jest róinS zeru. Ponieważ (31) jest zbieżny bezwzględnie, więc porządek w jakim występują jego wyifl nie jest ważny.
Zostawiamy czytelnikowi sprawdzenie następujących własności funkcji /:
a) ./ jest monotonicznie rosnąca na (a, b)\
b) /jest nieciągła w każdym punkcie zbioru £; rzeczywiście f(xH+)—f{x„—) = ęni\ g
c) / jest ciągła we wszystkich pozostałych punktach przedziału (a, b).
Co więcej, nietrudno zauważyć, że/(x—) = /(x) dla wszystkich punktów przedziału (o,H
Jeśli funkcja spełnia ten warunek, to mówimy, że jest ona lewostronnie ciągła. Jeśli w (3ll sumowanie byłoby wykonywane dla wszystkich wskaźników n, dla których x„ < x, hI mielibyśmy /(x+) = f{x) we wszystkich punktach przedziału (a, b), tj. / byłaby ciąghl prawostronnie.
Funkcję tego typu można skonstruować w inny sposób: po przykład odsyłamy czytelnik* do twierdzenia 6.16.
Granice nieskończone i granice w nieskończoności
Aby mieć możność działania w rozszerzonym systemie liczb rzeczywistych, rozszerzymjl zasięg definicji 4.1, formułując ją w terminologii otoczeń.
Dla dowolnej liczby rzeczywistej x zdefiniowaliśmy już otoczenie jako dowolny przedział! (x—5, x+$).
4.32. Definicja. Dla dowolnej liczby rzeczywistej c zbiór wszystkich liczb rzeczywistych! x, dla których x > c, nazywamy otoczeniem punktu + oo i oznaczamy (c, + oo). Analogicznie, zbiór (— oę>., c) nazywamy otoczeniem punktu — co.
4.33. Definicja. Niech będzie dana funkcja rzeczywista / określona na zbiorze K Będziemy mówić, że
f(t)~*A dla t-»x?
gdzie A i x należą do rozszerzonego systemu liczb rzeczywistych, jeśli dla dowolnego] otoczenia U punktu A istnieje otoczenie V punktu x takie, że zbiór Vn E jest niepusty if (f) e U dla wszystkich t e VnE, t # x.
Niezbyt skomplikowane rozumowanie dowodzi, że definicja ta pokrywa się z definicją 4.1, gdy A i x są rzeczywiste.
Twierdzenie analogiczne do twierdzenia 4.4 jest prawdziwe i w tym przypadku i jego dowód nie wprowadza nic nowego. Sformułujmy je dla pełności.
4.34. TWIERDZENIE. Niechfig będą określone na E. Przypuśćmy, że
f(t)-*A, g(t)-*B dla t-*X.
Wówczas
a) f (O-* 4' implikuje A' = A,
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
- aby zaakceptować tę poprawkę, należy kliknąć przycisk Tak. aby samodzielnie przejść do trybu edycj
Osiągnięcia te zawdzięczać należy przede wszystkim zwiększonym nakładom budżetowym i ofiarności
20,21 zm 9. ZAKŁADANIE IGŁY Aby ułatwić założenie igły, należy przede wszystkim, pokręcając kołem
41632 LucznikE0 451 HHUaMMUflB Aby ułatwić założenie igły. należy przede wszystkim, pofcrę ca«ckote
12 ZADANIA Z CHEMII 2.11. Ile gramów Na2Cr04-10 H;0 należy dodać do 200 g wody, ab
Zadanie 101/YII Ile gramów NaOH należy dodać do 500 cm 31.2 N roztworu H3PO4, aby pH roztworu wynosi
abcd3 Zad. 26. Ile g 5% roztworu KOH należy dodać do 700 g 7% roztworu KOH aby przygotować roztwór
img401 (4) ,£<zy , / • u A ) w>, 3 (3)^(2; : liR. Ile cc3 0,5 molowego KOH należy dodać do 50
podst1 3$ DODAWANIE®wo Aby dodać dwa ułamki o tych samych mianownikach należy dodać liczniki tych&nb
chemiac5 16 54 c. Jakie jony należy dodać do roztworu*• aby zmniejszyć hydrolizę? Sprawdzić wniosek
abcd3 Zad. 26. Ile g 5% roztworu KOH należy dodać do 700 g 7% roztworu KOH aby przygotować roztwór
22 (444) 8. Ile gramów 3% roztworu NaOH należy dodać do 50 g 35% roztworu teg
więcej podobnych podstron