8 (2) 2

128

7. Ciągi i szeregi funkcyjne

że zbieżność nie jest tutaj jednostajna wystarczy zastosować twierdzenie 7.9, Niemniej jednak w pewnych przypadkach twierdzenie odwrotne może być prawdziwe.

7.13. Twierdzenie. Niech K będzie zbiorem zwartym i niech

a) {f_n} będzie ciągiem funkcji ciągłych na K,

b) {fn} zbiega punktowo do funkcji ciągłej f na K,

c) f„(x) >fn+i (x)dla x6 Kin — 1,2,3, ...

Wtedy fn~*f jednostajnie na K.

Dowód. Niech g„ = f„-f Wtedy funkcją są ciągłe, g„-*0 punktowo i g„ > g_H+l. Mamy pokazać, że g„->0 jednostajnie na K.

Niech będzie dana liczba e > 0. Oznaczmy przez K„ zbiór wszystkich xeK, dla których g_n(x) > £. Ponieważ g„ są ciągle, więc zbiór K„ jest domknięty (twierdzenie 4.8), a więc zwarty (twierdzenie 2.35). Ponieważg_n ^ g„+i, więc K„z>K„%_A, Ustalmy xeK. Ponieważgf_B(x)«»0: dla dostatecznie dużych n, więc x 4 K_n. Zatem x Wobec tego fl^ujest pusty. Wynika stąd (twierdzenie 2.36), że K_N jest pusty dla pewnego N. Wobec tego 0 < g„(x) < e dla każdego x e K i dian > N. Dowodzi to naszej tezy.

Zauważmy, że zwartość jest warunkiem istotnym. Na przykład, jeżeli

fn (x) -• r (0 < x < 1;« ^ 1,2,4.4 " nx+l .....

to ffx)~*Q monotonicznie na (0,1), lecz zbieżność nie jest jednostajna.

7.14. DEFINICJA. Jeżeli Xjest przestrzenią metryczną, to przez ^(X) będziemy oznaczać zbiór wszystkich ciągłych, ograniczonych funkcji zespolonych określonych na X.

Zauważmy, że ograniczoność nie musi być dodatkowo zakładana, jeżeli X jest przestrzenią zwartą (twierdzenie 4.15), zatem w przypadku kiedy X jest zwarta, ^(X) składa się z wszystkich funkcji ciągłych o wartościach zespolonych określonych na X.

Z każdą funkcją /6 ^(X) zwiążemy jej supremum normę

11/11= sup|/(X)|. ,

xeX

Ponieważ / jest z założenia ograniczona, więc ||/| < co. Jest widoczne, że ||/|| = 0 tylko wtedy, gdy / (*) *= 0 dla każdego x e tójest gdy/ = 0. Jeżeli h—f+g, to

|/>(x)| < j/(X)f+|</(x)| < H/H+IMI

dla dowolnego x s X: zatem

\\f+g\\ < IJ/Itltell-

Jeżeli określimy odległość pomiędzy / e ff(X) i g e ^ei(X) jako \\f-*g\\, to nietrudno sprawdzić, że spełnione będą warunki 2.15, jakie spełnia metryka.

Zatem &(X) staje się w ten sposób przestrzenią metryczną.

Twierdzenie 7.9 może być teraz sformułowane jak następuje:

Ciąg {f„}jest zbieżny dofw sensie metryki wHf(X) wtedy i tylko wtedy, gdy, jedno-