CCF20140608017

5.3. Wymiar Hausdorffa i wymiar topologiczny 59

Można wykazać [17], [20], że istnieje dokładnie jedna liczba do, dla której

(5.9)

Definicja 5.1. Liczbę do nazywamy wymiarem Hausdorffa zbioru F i oznaczamy przez dimH(-f)-

Istnieje bliski związek między wymiarem fraktalnym i wymiarem Hausdorffa. Gdyby przyjąć, że w pokryciu wszystkie kule mają średnicę e, to

jest wymiarem fraktalnym zbioru F. Ale granica ta nie zawsze istnieje (albo przyjmuje wartość zero lub nieskończoność), a więc definicja Hausdorffa jest ogólniejsza. Dla wszystkich omawianych dotychczas przykładów fraktali wymiar Hausdorffa i wymiar fraktalny wyrażają się tą samą liczbą, ale ogólnie zachodzi nierówność dimn(F) < d(F). Na przykład dla zbioru F tych punktów odcinka (0,1), które mają wymierne współrzędne, mamy dim^fF) = 0

Poniżej podajemy listę najważniejszych własności wymiaru Hausdorffa.

1.    Jeżeli A C B C Rⁿ, to dim^A) ^ dimH(B).

2.    Jeżeli A = U~₌₁ A„ jest sumą przeliczalnej liczby zbiorów A\ C Ąj C A3 C C ..., to dim^r(A) = sup_n dim.H(A_n). W szczególności każdy przeliczalny zbiór punktów przestrzeni Rⁿ ma wymiar dim^ równy zero.

3.    Jeżeli A C Rⁿ i B C R^m, to dla iloczynu kartezjańskiego A x B C R^n+m zachodzi nierówność dinif/(A) + dim^fB) ^ dim^(A x B).

4.    Dla sumy zbiorów mamy dim^A U B) = max{dimH(A), dimn(B)}.

5.    Jeżeli A jest zbiorem otwartym lub, ogólniej, zbiorem mającym dodatnią miarę Lebesgue'a w Rⁿ, to dim/-/(A) = n.

6.    Jeżeli / jest dyfeomorfizmem, to znaczy wzajemnie jednoznacznym i w obie strony różniczkowalnym (f i /^_1 mają ciągłe pochodne) przekształceniem zbioru A C Rⁿ w zbiór /(A) C Rⁿ, to dim#(/(A)) = = dim_H(A).

Dla podzbiorów przestrzeni Rⁿ mających zerową miarę Lebesgue'a wymiar Hausdorffa może przybierać wszystkie wartości z przedziału od zera do n włącznie.

Obliczanie wymiaru Hausdorffa dla atraktora układu IFS nie jest łatwe, ale dla pewnej klasy atraktorów można skorzystać z następującego twierdzenia

Twierdzenie 5.1. Niech Aoo będzie atraktorem układu iterowanych odwzorowań [R²; W\,W2,. ■ -/Wk}, w którym odwzorowania zwężające są podobieństwami

Wi{z) = ajZ + C{ albo W{(z) = a_;z* + c_;-

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
komercyjnych. Można z tego wyciągnąć wniosek, że istnienie publicznych mediów warunkuje niedoskonało
1 2 Można wykazać, że wymiary zewnętrzne (gabarytowe) pozostałych przekladr 8 i ni będą większe niż
1 2 Można wykazać, że wymiary zewnętrzne (gabarytowe) pozostałych przekladr 8 i ni będą większe niż
1 2 Można wykazać, że wymiary zewnętrzne (gabarytowe) pozostałych przekladr 8 • ni będą większe niż
strona090 90 4. WYMIAROWANIE Układ pasowań można podzielić według: •    zasady układu
Wymiarowanie przedmiotow PRZEDMIOTY MOŻNA WYMIAROWAĆ Wymiarowanie należy do bardzo ważnych czynności
DSC00125 (15) Konwekcja ciepła ■ Posługując się zasadami analizy wymiarowej zależność tę można dopro
Wymiarowanie przedmiotów PRZEDMIOTY MOŻNA WYMIAROWAĆ Wymiarowanie należy do bardzo ważnych czynności
Wymiarowanie przedmiotów PRZEDMIOTY MOŻNA WYMIAROWAĆ Wymiarowanie należy do bardzo ważnych czynności
Wymiarowanie przedmiotów PRZEDMIOTY MOŻNA WYMIAROWAĆ Wymiarowanie należy do bardzo ważnych czynności
DSC00924 (2) 2.7. Koła przednie i tylne Koła mają ogumienie o wymiarach 23" X 2,25; można stoso
1. Wiadomości wstępne Rysunek 1.2. Zadania Ćwiczenie 1.1. Ile półek o wymiarach 30 x 50 można wykona
DSC04207 Rodzaje wymiarów Wymiar pośredni - jest wymiarem, którego pomiar można dokonać tylko metodą
Wymiarowanie przedmiotów PRZEDMIOTY MOŻNA WYMIAROWAĆ Wymiarowanie należy do bardzo ważnych czynności
PRASA I WYMIAR SPRAWIEDLIWOŚCI 59 dalej posuniętych ambicjach nie liczymy. Ale tym niemniej spostrze
amat urz kr119 Wymiary elementów anteny można obliczyć w sposób uproszczony za pomocą wykresów z rys
CCF20120628012 WyMIAROlAlANJE SiUPA WYSOKOŚĆ1 U^Yrec2NA PR2ECR03U: di - C/^owl •+ 0s, -f 0,5(2$ 1=1
cw4PKM Wymiary t u 1 o i sprzęuła tulcjnwogo można wyznaczyć na podstawie tabl. 8. Obliczanie wytrzy

więcej podobnych podstron