Cialkoskrypt9

116 2. Statyka płynów

Do wyznaczenia położenia środka parcia potrzebne są momenty bezwładności dla koła (rys. 2.36). Wyznaczamy je z następujących zależności:

I_nc = Ję²dA= ] Jp²cos²(ppdpd(p= ]p³dp dcp = -Ur⁴,

A 0 0 0 0 ^

^T4n_c ⁼ jVl^{dA =} { Jp² cos (psin cppdpd(p = |p³dp J-—d(p = 0.

o o

W przypadku osi symetrii moment dewiacyjny jest równy zeru. Ostatecznie współrzędne środka parcia dla koła są następujące:

Ttr

^zp⁼^ = ^{h +} -^7 = ^{H +} 777’ ^{p p} Ttr H 4H ^p

Głębokość zanurzenia środka ciężkości (figury z rys. 2.35b) wyznaczymy na podstawie znajomości położenia środków ciężkości prostokąta i półkola. Ponieważ figura ma oś symetrii (wtedy r|_p = 0), wystarczy wyznaczyć tylko współrzędną Zę środka ciężkości. W układzie współrzędnych zaznaczonym na rysunku współrzędne środka ciężkości oraz pole powierzchni półkola są następujące:

u ⁴ a ^711-2

z_c, = H--r , A, =-,

^cl 3tc ¹ 2

z_c2=H + r, A₂ = 4r² .

a dla prostokąta Wobec tego

Z - ^{+ Z}c2^A2 _

^c A, + A₂

H- —rl— + (H + r)4r²

^{311 j 2} =H + ———r,

rtr

+ 4r²

3n + 24

F = pgz_cA . dla półkola

A = Aj + A₂ = ^ + 4j r² , Moment bezwładności względem osi podziału x’

Oś x’ przechodzi przez środek ciężkości koła. Moment bezwładności względem tej osi dla koła warto znać, bo dla połowy koła odciętej wzdłuż tej osi jest to połowa wartości momentu z całego koła. Podobnie jest w przypadku prostokąta.

t 1 2 / ,3 « 16 4

I_2x,=---(2r) ,

TC 16 ] 4 - + — Ir 8 3

I_x.=I_lx.+I_2x.=l -+— Ir'

Moment bezwładności całej figury względem osi przechodzącej przez jej środek ciężkości obliczamy z twierdzenia Steinera:

T1Q

= Ix--A(z_c

Podobnie jak w poprzednim przykładzie, figurę (z rys. 2.35c) podzielimy na figury o prostych kształtach (prostokąt o bokach h i 2b oraz dwa trójkąty o przypro-stokątnych h, a-b). Wobec tego głębokość środka ciężkości wyznaczymy ze wzoru:

h._{2bh + 2}.li>Z^b)^h

2_3 2

(a + b)h

(a + 2b)h 3(a + b)

Moment bezwładności trapezu względem osi x tożsamej z osią r\ można policzyć jako sumę momentów bezwładności prostokąta i dwóch trójkątów. Równanie prze-ciwprostokątnej jest następujące:

- h(a-x)

(a-b) '

Moment bezwładności dla prostokąta

b h

= | |z²dzdx = —h³b,

o o

a dla trójkąta

~hx ^+2I2x ^{=-h b + 2}

Ja . ^h³(a-b)_h³(a + b)

Cialkoskrypt9

Cialkoskrypt9

zc, = H--r , A, =-,

h.2bh + 2.li>Zb)h

- h(a-x)

Cialkoskrypt9

Cialkoskrypt9

z_c, = H--r , A, =-,

h._{2bh + 2}.li>Z^b)^h