Dziawgo; Działania na macierzach, podstawpwe typy macierzy 1

so /'/ rsli:i‘i'i llnlowii, l:niin>i/l tli fi • -h ml lliilo\\‘\ < li, Hn.d fi .■f.tti ml

Odwzorowanie (p określone je;;l w n.e.ii, pnpiey sposób: jeżeli zeZ, ezyli

z = an+ i a₂2, lo (p (z) q> ( u_{( (} i i a₂₂)

a„ 2

5.2 Niech K_3x4 będzie zbiorem wszystkich macierzy o wymiarach 3x4, któ rych elementy należą do ciała R. Sprawdzić, czy K_3x4jest przestrzenią li niową.

5.3 Niech W_n (x) będzie zbiorem wszystkich wielomianów postaci

a_nxⁿ+a_n.]Xⁿ'¹ +...+ aj x + a₀ =f„ (x), gdzie ai,a₂,...,a„ należą do ciała liczb zespolonych.

W zbiorze W_n(x) wyróżniamy wielomian zerowy f„°(x)=0xⁿ +...+0x+0.

Sprawdzić, czy W_n(x) jest przestrzenią wektorową nad ciałem liczb zespolonych.

5.4 Niech V_n(R) będzie przestrzenią liniową równań n-zmiennych nad ciałem liczb rzeczywistych, W_n(R) będzie przestrzenią liniową nad ciałem R wektorów o n-składowych. Sprawdzić, czy odwzorowanie cp dane wzorem:

(p([a_LXi+a₂x₂ + ...+ a_nx_n=ao]) = [a_h a₂, ... , a_n, a₀] jest izomorfizmem równań i wektorów.

5.5 Sprawdzić, czy wektory są liniowo niezależne,

a) [5,4,3], [3,3,2], [8,1,3], b) [1,1,2], [1,2,1], [1,0,0], c) [1,2], [3,-1], d) [2,1,1], [1,1,-1], [3,2,0],

e) [2,1,1], [1,1,-1], [0,1,3], f) [1,1,1,1], [2,1,-2,0], [1,2,0,0], [3,0,0,0].

5.6 Zortogonalizować układ wektorów: [2,1,1], [1,11], [0,1,3].

5.7 Sprawdzić, czy wektory: [1,2,1,2], [2,1,-2,0], [-1,2,0,0], [-4,0,0,0] tworzą bazę przestrzeni R⁴.

5.8 Dla jakiego parametru a wektory Vj=[l,-l,tf], V₂=[0,1,1], V₃=[a,-3,-l] tworzą bazę w przestrzeni R³.

Przyjmując a = -1 i korzystając z procesu ortogonalizacji znaleźć bazę or-tonormalną.

5.9 Wektor a =[5,-2,2] przedstawić w bazie ortogonalnej utworzonej z bazy

Vi=[l,l,0], V₂=[3,-l,l], V₃=[0,-2,5].

5.10 Wektory x, = [2,3,0,—l], x₂ =[—1,—3,1,0] przedstawić jako kombinację liniową wektorów bazy:

y, = [1,1,0,0], y₂ = [0,1,1,0], y₃ = [l,0,0,l], y₄ = [l,0,0,0].

Ćwiczenia 6

l )/i,ilaniana macierzach, podstawowe typy macierzy

/.ulanie 1.

i • im \.| macierze:

A =

			1	0"
1	0"		-1	1		■-1	0
-2	3	, B =			,C =	1	-4
			2	1	,C =
1	1					1	-4
			-2	-1

nl.liez: a) A+C, b) A-B, c) AB, d) AB Ko/,wiązanie:

e) [B-A^t-(A + C)]^T.

	1	0~		'-1 0"		" 0	0"
A +C =	-2	3	+	1 -4	=	-1	-1
	1	1		1 -4		2	-3

Ii) Działanie niewykonalne, macierze A_3x2 i B_4x2 nie mają tych samych wymiarów.

. ) I )/,iałanie niewykonalne, macierze Zgodność, w tym sensie, zachodzi wtedy, gdy A i B nie są Zgodne liczba kolumn pierwszej macierzy równa się

.1) 13 ¹ =

1-12-2 0 11-1

W, =[1,0], w ₂ =[-2,3], w ₃ = [1,1] k, =

J2x4

1		-1		2		-2
0	, k₂ =	1	, k₃ =	1	, k₄ =	-1

k_t 1<2 k₃ k₄ odpowiednio kolumny macierzy B¹.

liczbie wierszy drugiej macierzy.

Najpierw wyznaczam macierz B^T. Działanie AB¹ jest wykonalne gdyż macierze A, B¹ są zgodne.

w_t w₂ w₃ oznaczają wektory wierszowe macierzy A.

Niech D = A • B

D =

d_:;

3x4

d = w o k

ij i j

Element di j macierzy D jest iloczynem skalarnym i-tego wiersza macierzy A i j-tej kolumny macierzy B¹.