Elektronika W Zad cz 2 9

w Ciąźyński - ELEKTRONIKA W ZADANIACH Część i Charekicrystykt częstotliwościowa układów elektronicznych

□

filtru

Rys. 4.2.1 Dwustopniowy filtr dołnoprzepustowy RC czyli układ inercyjny 2. rzędu

Zadanie 4.2

Przeanalizować częstotliwościowe własności transniitancji napięciowej

dwustopniowego

dolnoprzepustowego RC (czyli układu inercji 2. rzędu) z rysunku 4.2.1 dla dwu następujących

przypadków:

L. jeśli pomiędzy punkty A i B układu włączono idealny wtórnik napięciowy;

2. jeśli obydwa ogniwa RC są połączone bezpośrednio (czyli punkty A i B są ze sobą zwarte jak na rysunku);

Rozwiązanie

Ad 1. Jeśli pomiędzy punkty A i B zostanie włączony idealny wtórnik napięciowy (wzmacniacz o wzmocnieniu 1. o bardzo dużej rezystancji wejściowej i zerowej rezystancji wyjściowej), to moZna uważać obydwa ogniwa RC za oddzielone od siebie i wzajemnie się nie obciążające. Dla sinusoidalnego napięcia wejściowego i/„, o częstotliwości kątowej (czyli „pulsacji”) co = 2nf transmitancje napięciowe (funkcje przejścia) tych dwu ogniw 1. rzędu są jednakowe i każda z nich ma postać wyrażenia zespolonego wyznaczoną powyżej w zadaniu 4.1:

U( 1 + jd)RC

Najwygodniej będzie operować postacią wykładniczą tego wyrażenia, tzn.:

^Uuy _^U\ _1_ -jarrlguaKC) ! A 7 'i I

“l ^U.r yjl+(0)RC)¹ I

Wobec tego, że w rozpatrywanym przypadku ogniwa RC nie obciążają się, ich transmitancje napięciowe się mnożą i transmitancja całego układu wynosi:

l + (o) J?C)^J ^

(4.2.3)

,-]2ttrr igfm KC)

Otrzymujemy w ten sposób dwa wyrażenia, z których pierwsze pozwala na wykreślenie charakterystyki częstotliwościowej modułu k_u transmitancji (zwanej też „charakterystyką amplitudową”, gdyż określa ona dla każdej częstotliwości stosunek amplitud napięcia wyjściowego i wejściowego):

k =---r (4.2.4)

l + (to RCY

a drugie pozwala na wykreślenie „charakterystyki fazowej”, opisującej w jaki sposób od częstotliwości sygnału zależy wartość kąta <p„, tzn. przesunięcie fazowe pomiędzy napięciem wyjściowym a wejściowym:

cp_u = -2 arc tg (co RC) (4.2.5)

Podobnie jak w zadaniu 4.1 w powyższych wyrażeniach występuje zależna od częstotliwości sygnału bezwymiarowa zmienna coRC = 2nfRC.. Jeśli oznaczymy przez a>oodwrotność iloczynu wartości elementów R i C tworzących układ, tzn.:

(4.2.6)

to stwierdzimy, że:

w Ciążyński - ELEKTRONIKA W ZADANIACH Część 4 Charakterystyki częstotliwościowe układów elektronicznych

Mi si ol

„KC-2-&-.Ł

“o 2n/₀ f_Q

czyli coRC jest zmienną określającą stosunek częstotliwości / sygnału do częstotliwości charakterystycznej f₀ układu, zależnej od wartości elementów R i C, która w warunkach zadania, podobnie jak w zadaniu 4.1 ma wartość:

(i)₀ 1 _1__ 1000

~ 2n ~ 2nR C ~ 2-3,14-10³£2-10'°F ~ 6,28s

= 159 Hz

(4.2.7)

(4.2.8)

Na rysunku 4.2.2 na osi poziomej przyjęto liniową skalę częstotliwości, wyrażonych przez wartości względne, tzn. jako stosunek częstotliwości bieżącej sygnału / do częstotliwości granicznej fo. No osi pionowej przyjęto liniową skalę wzmocnienia w zakresie od 0 do 1. Uzyskane w takim układzie współrzędnych charakterystyki modułu i fazy transmitancji napięciowej opisane zależnościami funkcyjnymi (4.2.4) i (4.2.5) są unormowane (słuszne dla każdego zestawu wartości parametrów R i C układu).

Dla częstotliwości charakterystycznej /=/„= 159 Hz (czyli coRC = 1) jak wynika z zależności (4.2.4) mamy moduł wzmocnienia równy:

*_u=y^ = 0,5 (4.2.9)

oraz przesunięcie fazowe (z zależności 4.2.5):

<p„ = -2 arc tg 1 = -2 • 45' = - 90” (4.2.10)

Rys 4.2.2 Charakterystyki częstotliwościowe modułu i fazy transmitancji filtru dolnoprzepustowcgo RC 2. rzędu (w liniowym układzie współrzędnych)

W porównaniu z charakterystykami dla filtru RC i. rzędu (patrz rysunek 4.1.2) możemy zauważyć, że dla tych samych wartości f/fo charakterystyka modułu transmitancji układu 2. rzędu biegnie niżej, a przesunięcie fazowe jest dwukrotnie większe. Jest to oczywiste wobec stwierdzonego powyżej faktu, że mnożymy przez siebie transmitancje napięciowe obydwu ogniw.

Pokazanie przebiegu charakterystyk w szerszym zakresie zmian częstotliwości jest możliwe po przyjęciu skali logarytmicznej na obydwu osiach. Na rysunku 4.2.3 względna częstotliwość cuRC = f/fo zmienia się w zakresie 5-ciu dekad (od 0,01fo do lOOO/o) i w całym tym zakresie można odczytać przybliżone wartości modułu transmitancji i przesunięcia fazowego.

-157-