Elektronika W Zad cz 2 3

w Ciążyński - ELEKTRONIKA W ZADANIACH C2ęśt 4: Charakterystyki częstotliwościowe układów elektronicznych

przedstawiona na płaszczyźnie zmiennej zespolonej będzie rozciągać się w trzech ćwiartkach układu współrzędnych (I, II i III ćwiartce).

Ad 1. Dokładne wyrażenie opisujące transmitancję można byłoby uzyskać droga elementarnych obliczeń, podobnych do przedstawionych w zadaniach 4.2 i 4.3 <j|_afiltrów dolnoprzepustowych 2-go rzędu. Tę drogę pozostawimy zainteresowanemu Czytelnikowi, a my zastosujemy poznaną w części 3 niniejszego zbioru zadań metodę macierzy admitancyjnej.

Analizowany układ zawiera cztery węzły, które oznaczono kolejnymi numerami już na tematowym rysunku 4.7.1. Przypomnijmy, że kwadratową macierz admitancyjną o rozmiarach zależnych od liczby węzłów (tutaj macierz 4-go stopnia) tworzymy następująco (patrz „Wprowadzenie” do części 3 zbioru):

• do każdego z elementów 7„ leżących na przekątnej głównej macierzy wpisujemy sumę admitancji wchodzących do odpowiadającego danemu elementowi i-tego węzła;

• admitancję łączącą węzły o numerach i i j wpisujemy ze znakiem minus do dwu elementów macierzy Ty i T,,-.

Zastosowanie tego algorytmu prowadzi do uzyskania macierzy przedstawionej na rysunku 4.7.2. Przez Y oznaczono w niej admitancję Y = 1 /R.

	©		®	©
©	JcoC	-jcoC	0	0
©	-jcoC	Y +2 jcoC	-jcoC	0
	0	-jcoC	Y + 2 jcoC	-jcoC
©	0	0	-jcoC	Y + jcoC

Rys. 4.7.2 Macierz admitancyjna układu z rysunku 4.7.1

	©	©	©		©	©	©
©	-jcoC	Y + 2 jcoC	-jcoC	©	Y + 2 jcoC	-jcoC	0
©	0	-jcoC	Y + 2 jcoC	©	-jcoC	Y +2 jcoC	-jcoC
©	0	0	-jcoC	©	0	-jcoC	Y + jcoC

Rys. 4.7.3 Podwyznacznik do obliczenia Rys. 4.7.4 Podwyznacznik do obliczenia

dopełnienia algebraicznego Au dopełnienia algebraicznego Au

Poszukiwane wzmocnienie obliczymy korzystając z zależności Nr 2 podanej w tabeli W3.7, przyjmując węzeł © jako wejście, a węzeł © jako wyjście układu. Podwyznaczniki macierzy admitancyjnej potrzebne do obliczenia dopełnień algebraicznych wchodzących do wspomnianej zależności pokazano na rysunkach 4.7.3 i 4.7.4 powyżej.

_(-1 )^U4(-y(oC)³__■

(-1)^,+I[(T + 2jaC)² (Y + j(oC)-(jwC)²(Y + jaC) - (jaC)² (Y + 2jaC))

(4.7.4)

KO‘ta) = -~" =

Po uporządkowaniu otrzymujemy:

(4.7.5)

Kija) =

(jb» cy

Y³+5Y² (jaC) + 6 Y(jaC)² + (jaC)³

W Ctązyftski - ELEKTRONIKA W ZADANIACH Część 4 charakterystyki częstotliwościowe układów elektronicznych

postać wielomianu trzeciego stopnia dla zmiennej jcoRC:

0<»/?c)³

^J l + 5(y(o/?C) + 6(y'co/łC)² + (jwRC)³

Dzieląc przez Y³ i podstawiając z powrotem 1 IY = R uzyskujemy w

(4.7.6)

Wielomian ten można rozłożyć na trzy czynniki, ale otrzymane 3 rzeczywiste bieguny transmitancji leżą na tyle blisko siebie, że na odpowiednich wykresach wynikające z nich asymptoty o nachyleniu 20dB/dek i 40dB/dek nie byłyby użyteczne (patrz zadanie 4.2).

Ad 2. Do znalezienia współrzędnych punktów przecięcia charakterystyki z osiami na płaszczyźnie zmiennej zespolonej bardziej celowe jest przedstawienie mianownika transmitancji napięciowej jako wyrażenia zespolonego w postaci algebraicznej: _-;(co/?C)³_

KUW - p_ ₆(a^_c)2-| ₊j0iRC[5 - (toRC? ] ⁽⁴'⁷ 7)

Ra K(jco)

Rys. 4.7.5 Charakterystyka amplitudowo-fazowa filtru gómoprzepustowego RC 3-rzędu na płaszczyźnie zmiennej zespolonej

Część rzeczywista mianownika transmitancji zeruje się, czyli mamy: l-6(co/?C)² =0 dla względnej częstotliwości:

(toflC)² =1/6 czyli tu/?C = 1/76 = 1/2.449 = 0,408 (4.7.8)

Transmitancja napięciowa wynosi wtedy:

(4.7.9)

K(M = -

-j((0/?Q³ _ -(toRC)¹

j(aRC[5-(i>}RC) ] 5-(toRCy >--₆ 29

a więc wyraża się ujemną liczbą rzeczywistą, co oznacza że dla coRC = 0,408 charakterystyka na płaszczyźnie zmiennej zespolonej przecina ujemną półoś rzeczywistą a kąt fazowy wektora transmitancji wynosi wtedy 180”.

Część urojona mianownika transmitancji (wyrażenie 4.7.7) zeruje się, czyli mamy cu/?C[5 -(U)/?C)²] = 0 dla dwu względnych częstotliwości:

• cuRC = 0, co odpowiada modułowi transmitancji k_u = 0 dla prądu stałego

- 185-