Egzamin z matematyki część teoretyczna -semestr letni IMIR, rok I (dr Ryszard Mosurski)

Każde zadanie punktowane jest w skali 0-10 punktów. Egzamin trwa 60 min.

Pokaż, że dla funkcji jednej zmiennej jej różniczkowalność w punkcie a jest równoważna istnieniu pochodnej tej funkcji w a.

1 Podaj tw. Greena dla całek krzywoliniowych skierowanych. Oblicz

fy(\-x²)dx + x(y² + \)dy_y

ABCA

gdzie ABCA jest skierowanym dodatnio obwodem trójkąta o wierzchołkach A(0,0), B(2,0), C(2,l).

}.. Podaj definicję równania różniczkowego jednorodnego. Znajdź całkę ogólną równania

(2jc + 4y + 3 )dy — (x + 2 y +1 )dx = 0.

4. Podaj definicję funkcji różniczkowanej n-zmiennych. Sprawdź, czy funkcja ■>

x~y

dla (*,y)*(0,0)

f{x,y) :=^<

0    dla (x,y) = (0,0)

jest różniczko walna w (0,0).

2 2

x + y

5. Podaj tw. o istnieniu i wzór na płaszczyznę styczną do wykresu funkcji n-zmiennych. Wykaż, że

c

płaszczyzna styczna do wykresu f (x,y) = — (c > 0) w dowolnie ustalonym punkcie

xy

(a, b), gdzie a 0 i b & 0, tworzy z płaszczyznami układu współrzędnych czworościany o równych (niezależnych od wyboru punktu styczności (a,b)) objętościach.