liczby Z 1
36
2. Liczby zespolone;
Wniosek 2.6.1. Dla liczb zespolonych z = \z\e3* i w = \w\e3Xi> oraz liczby naturalnej n mamy:
(1) z = w wtedy i tylko wtedy, gdy \zj = \w\ = 0 albo \z\ = \w\ > q i ip = 7p -f 2kr dla pewnej liczby całkowitej k;
(2) zw = \z\\w\e3^+^;
(3) zn = lzlnejnv> (oraz (e3¥>)n = e-7’*1*, co jest wzorem de Moivre’a);
(4) z = \z\e~W;
(5) z ~ liie_jV ^dy Z ć 0);
(6) ? = {gdy z *0);
(7) pierwiastkami n-tego stopnia z liczby z = \z\eJ<p ^ 0 są liczby
zk = dla k = 0,1,... ,ń - 1,
a pierwiastkami n-tego stopnia z jedności są liczby
Przykład 39. Korzystając z postaci wykładniczej liczby zespolonej, rozwiązać równanie (z)4 = — 9\z2\.
Załóżmy, że z — rePonieważ z = re~-'¥’, |z| = 7’ i — 9 = 9e-',r) więc mamy równoważności
(z)4 = —9|z2| <=> r4e-4jV = 9r2e;,r
4=> r = 0 albo r = 3 i - 4^ = tt + 2k-K {k € Z)
<=> r = 0 albo r = 3 i </j = f + ^ (/ = 0,1,2,3)
<=> z = 0 albo z = 3e-’(*|+i5L) (Z = 0,1,2,3).
Zatem rozwiązaniem równania są liczby zi = 0. zj = -^(1 + j). z3 — 4-(-l + j) 24 = i *5 = ^(1 -i).
5.
6.
2.7. Ćwiczenia
1. Znaleźć część rzeczywistą i urojoną następujących 4. liczb zespolonych:
MP + W* <‘>7$ <C)T^;
2. Rozwiązać równania, w których niewiadome x i y są liczbami rzeczywistymi:
(а) (7 + 2j)x - (5 - 4j)y = -1 - j\
(б) (1 + 2j)x + (3 - 5j)y = 1 - 3j;
(c) (5 - 8j)x + (7 + 3j)y = 2 - j;
(cl) (2 + 3j)x2 + (2 + j)x + (4 - 3j)y = 8 + 17j.
3. Rozwiązać następujące równania, w których niewiadoma z jest liczbą zespoloną:
(а) (1 + j)z + 2jz = 1 + 5j;
(б) zz + 2z = 19 + 4j;
(c) |z| - z = 1 +2j;
(d) |z| + (l+j)z = 4 + 7j;
(e) |(2 + j)z| - (3 - j)z = —5j;
(/) zż + 2(z - z) = 25 - 12j.
Wyznaczyć i zaznaczyć w płaszczyźnie zbiór wszystkich z spełniających warunek:
(а) |z| + | z- 2j\ = 2;
(б) \z+j\ + \z-j\ = 4.
Następujące liczby zapisać w postaci kartezjańskiej:
(а) (2 + 3j)(l+j)(7 - 3j)(7 - 3j);
(б) 30 (cos n + j sin 7r) ( cos ^ + j sin ^2 );
(c) 6(cos | + j sin £) ( cos §7r + j sin §7r);
(d) 3( cos42° +j sin 42°) ( cos 168° +j sin 168°);
/ \ y5(coa 147° +j ain 147°) ■
' ' v^2(cos 57° +j ain 57° )
(/) (cosf + jsin f )12(cos + jsin y^)‘°.
Wyznaczyć postać trygonometryczną następujących liczb:
(aj (5 + 5j).§=i; (b) ;
7 *+ J v ' cosa+jsina’
(c) tga + j; (d) 1 — cosx -f j sinx;
(e) (1±MV: m {-1+Jv?)4,‘ ;
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
4. DEFINICJA Wartością bezwzględną liczby x € R nazywamy liczbę
liczby Z 2 Rozdział 2LICZBY zespolone2.1. Liczby zespolone i działania na liczbach zespolonych Niech
liczby Z 3 2. Liczby zespolone Dowód, (a) i (6). Z przemieńności i łączności zwykłego dodawania licz
liczby Z 4 21 2 i Lir/by zospoloin* i działania na liczbach zespolonych Począwszy od tego miejsca dz
liczby Z 5 22 2. Liczby zespolone Dowód. Łatwo zauważyć. » *. M, — * - W) — <“>■ «*«• <“>
liczby Z 6 23 Sprzężenie liczby zespolonej z=a—bj Rys. 2.4 ^o^Oprz^żenie i moduł liczby zespolonej__
liczby Z 7 2. Liczby zespolono, . n,bi jest odległością pun
liczby Z 8 25 25 Postać trygonometryczna liczby zespolonej Przykład 21. Na płaszczyźnie zesoolnn • n
liczby Z0 .) j pnstać trygonometryczna liczby zespolonej Obie te obserwacje pozwalają uzasadnić pop
liczby Z1 28 2. Liczby zespolone; _ ( _ *)) ) = /2 (cos -f j sin Ifi). = 26 ( cos 7rr + j sin ^7r)
liczby Z2 ^^pierwiastkowanie liczb zespolonych__ 4. pierwiastkowanie liczb zespolonych Definicja 2.
liczby Z3 Pierwiastki z jedności 2krc . . 2/ctr ek = cos--h J sin (2.29) n n dla k = 0, 1, .... n-1
liczby Z4 f 9J. Pierwiastkowanie liczb ______ pierwiastki stopnia drufęieeo » i-
liczby Z5 2. Liczby zcsi • nv jeszcze jeden sposób wyznaczania ,v k0,ej„ym twiertamiu P^^^onej. W t
liczby Z6 33 2.5. Wzory Eulera, j„d 36. Rozwiązać równanie x2 - (2 4- j)x + (-1 + 7j) = 0. przyKI p
liczby Z7 2. Liczby zespolone 34 Dodaj,c lub odejmując stronami równości (2.39) i (2.40), otrzymuje
liczby Z9 36 2. Liczby zespolone Wniosek 2.6.1. Dla liczb zespolonych z =
liczby Z 9 26 26 n(z). Argument każdej go argumentem głównym liczby z i oznaczam
liczby Z8 35 o fi Postać wykładnicza liczby zespolonej Dowód. Udowodnimy tylko pierwszą równość. Dw
więcej podobnych podstron