liczby Z 2
Rozdział 2
LICZBY zespolone
2.1. Liczby zespolone i działania na liczbach zespolonych
Niech C będzie zbiorem wszystkich uporządkowanych par (a, 6) liczb rzeczywistych a i b,
C = {(a, b) : a, 6 € /?}.
Za pomocą równości, zwykłego dodawania (i odejmowania) oraz zwykłego mnożenia liczb rzeczywistych definiujemy równość, dodawanie © oraz mnożenie <g> w zbiorze C. Jeśli pary (a, b) i (c, d) są elementami zbioru C, to przyjmujemy,
że:
|
(a,b) = (c, d) |
a = c i b = d, |
(2.1) |
Równość liczb zespolonych |
|
(a,b) 0 (c, d) |
= (a + c, 6-I-d), |
(2.2) |
Suma liczb zespolonych |
|
(a,b) <g> (c, d) |
= (ac — bd, ad -1- bc). |
(2.3) |
Iloczyn liczb zespolonych |
Definicja 2.1.1. Elementy zbioru C (z równością (2.1) oraz działaniami dodawania i mnożenia określonymi wzorami (2.2) i (2.3)) nazywamy liczbami zespo- Liczby zespolone lonymi.
Jeśli z = (a, b) jest liczbą zespoloną, to liczby rzeczywiste a i b nazywamy odpowiednio częścią rzeczywistą i częścią urojoną liczby z i piszemy
Re (z) = a i Im (z) = b.
Pokażemy teraz, jak z własności zwykłego dodawania i zwykłego mnożenia liczb rzeczywistych (zob. przykład 15 i definicję 1.4.1) wynika, że zbiór liczb
zespolonych z wyżej określonym dodawaniem i mnożeniem liczb zespolonych jest ciałem.
Twierdzenie 2.1.1. Zbiór C z działaniami dodawania i mnożenia określonymi
wzorami (2.2) i (2.3) jest ciałem, więc działania te mają następujące własności: C - ciało liczb zespolonych
(przeinienność dodawania) (łączność dodawania) ), 0) - zero zespolone) przeciwna do z = (a,b)) (przeinienność mnożenia) (łączność mnożenia) (zi = (1,0) - jedynka zespolona)
(a) V2 ,wec z © w = w © z,
W ^z,w}tec z © (w © £) = (z © w) © t.
(c) 3zo€C ^zeC z © Zq = z, (z0 = (0,0) - zero zespolone)
{d) Vzec 3~zec Z © (—z) = Zo, (—z = (—a, —6) - liczba (e) ^z,wec z 0 w = w (g) z,
(/) Vz,w,tec z <g> (w <g> i) = (z ® w) ® t,
(j) ^Z\£C ^zęC Z 0 Z\ = Z} yz\ =■ u) — jeuyiiftxi
^«€C-{20} z z 1 = Z\} (z 1 = () > gdy z = (a,b) ^ zo)
/b/iolnio fti )
z®{w®t) = (z®w)($)(z®t). (rozdzielność
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
4. DEFINICJA Wartością bezwzględną liczby x € R nazywamy liczbę
liczby Z 1 362. Liczby zespolone; Wniosek 2.6.1. Dla liczb zespolonych z = ze3* i w = we3Xi> oraz
liczby Z 3 2. Liczby zespolone Dowód, (a) i (6). Z przemieńności i łączności zwykłego dodawania licz
liczby Z 4 21 2 i Lir/by zospoloin* i działania na liczbach zespolonych Począwszy od tego miejsca dz
liczby Z 5 22 2. Liczby zespolone Dowód. Łatwo zauważyć. » *. M, — * - W) — <“>■ «*«• <“>
liczby Z 6 23 Sprzężenie liczby zespolonej z=a—bj Rys. 2.4 ^o^Oprz^żenie i moduł liczby zespolonej__
liczby Z 7 2. Liczby zespolono, . n,bi jest odległością pun
liczby Z 8 25 25 Postać trygonometryczna liczby zespolonej Przykład 21. Na płaszczyźnie zesoolnn • n
liczby Z0 .) j pnstać trygonometryczna liczby zespolonej Obie te obserwacje pozwalają uzasadnić pop
liczby Z1 28 2. Liczby zespolone; _ ( _ *)) ) = /2 (cos -f j sin Ifi). = 26 ( cos 7rr + j sin ^7r)
liczby Z2 ^^pierwiastkowanie liczb zespolonych__ 4. pierwiastkowanie liczb zespolonych Definicja 2.
liczby Z3 Pierwiastki z jedności 2krc . . 2/ctr ek = cos--h J sin (2.29) n n dla k = 0, 1, .... n-1
liczby Z4 f 9J. Pierwiastkowanie liczb ______ pierwiastki stopnia drufęieeo » i-
liczby Z5 2. Liczby zcsi • nv jeszcze jeden sposób wyznaczania ,v k0,ej„ym twiertamiu P^^^onej. W t
liczby Z6 33 2.5. Wzory Eulera, j„d 36. Rozwiązać równanie x2 - (2 4- j)x + (-1 + 7j) = 0. przyKI p
liczby Z7 2. Liczby zespolone 34 Dodaj,c lub odejmując stronami równości (2.39) i (2.40), otrzymuje
liczby Z9 36 2. Liczby zespolone Wniosek 2.6.1. Dla liczb zespolonych z =
liczby Z 9 26 26 n(z). Argument każdej go argumentem głównym liczby z i oznaczam
liczby Z8 35 o fi Postać wykładnicza liczby zespolonej Dowód. Udowodnimy tylko pierwszą równość. Dw
więcej podobnych podstron