liczby Z4

2 i Lir/by zospoloin* i działania na liczbach zespolonych

Począwszy od tego miejsca działania na liczbach zespolonych oznaczać bę-Jzieiny za pomocą sym >oli używanych dla liczb rzeczywistych, tzn. będziemy pisać (a. b) + (c,<f) zamiast (a, 6) ® (c, d) oraz (a, 6) ■ (c, d) (lub nawet (a, 6)(c, d)) zamiast (a,b)<S(c,d). Nie spowoduje to większej niejednoznaczności. Dodatkowo, sądzimy, że dzięki takim zabiegom. Czytelnik szybciej dojdzie do przekonania, że działania na liczbach zespolonych określone wzorami (2.2) i (2.3) są “naturalnymi uogólnieniami dodawania i mnożenia liczb rzeczywistych.

Definicja 2.1.2. Różnicą i ilorazem liczby zespolonej z = (a, b) i liczby zespolonej w =    nazywamy odpowiednio liczby z — w i z/w, gdzie

z-w = (a — c, 6 — d),

z f ac -f bd bc — ad \

W - \^Td^'^Td^)' s^dy ^w ^ (o,o).

Definicja 2.1.3. Jeśli n jest liczbą naturalną, to n-tą potęgę liczby zespolonej

z definiuje się indukcyjnie (zob. def. 1.2.2), przyjmując, że

z¹ = z i zⁿ = z ■ zⁿ~^x

dla n = 2,3-----Dla z ^ 0 przyjmujemy także, że

z° = 1 i z“ⁿ = —

zⁿ

dla naturalnego n.

Postać kanoniczna liczby zespolonej

Niech Cr będzie zbiorem liczb zespolonych, których część urojona jest zerem. Każda liczba ze zbioru Cr jest postaci (a, 0) i jest ona jednoznacznie wyznaczona przez swoją część rzeczywistą o, więc liczbę zespoloną (a, 0) utożsamiamy z liczbą rzeczywistą a i wprost piszemy

(a,0)=a.    (2.8)

Ze względu na powyższe utożsamianie (które formalnie jest izomorfizmem ciała liczb rzeczywistych R z podciąłem Cr ciała liczb zespolonych C, zob. zad. 39 i 40) możemy powiedzieć, że zbiór liczb zespolonych C, w którym sumę i iloczyn określono wzorami (2.2) i (2.3), jest rozszerzeniem zbioru liczb rzeczywistych R z tradycyjnie rozumianą sumą i iloczynem liczb rzeczywistych.

Do zbioru C należy liczba (0,1), którą nazywamy jednostką urojoną i ozna

Zauważmy, że wobec (2.3) i (2.8) mamy

j.j = (0,l)(0,l) = (-l,0) = -l,

(2.10)

Równie łatwo zauważamy, że j³ = -j i j⁴ = 1- Stąd zaś można wywnioskować, że każda naturalna potęga liczby j jest jedną z liczb j, —1, —j i 1. M szczególność i mamy

/ = ;, ;⁶ = -i. f =    ¹ i⁸*¹-

Twierdzenie 2.1.2. Każdą liczbę zespoloną z = (a, b) można przedstawić w po-

z = a + bj.    (2T1)

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
4. DEFINICJA Wartością bezwzględną liczby x € R nazywamy liczbę
liczby Z1 362. Liczby zespolone; Wniosek 2.6.1. Dla liczb zespolonych z = ze3* i w = we3Xi> oraz
liczby Z2 Rozdział 2LICZBY zespolone2.1. Liczby zespolone i działania na liczbach zespolonych Niech
liczby Z3 2. Liczby zespolone Dowód, (a) i (6). Z przemieńności i łączności zwykłego dodawania licz
liczby Z5 22 2. Liczby zespolone Dowód. Łatwo zauważyć. » *. M, — * - W) — <“>■ «*«• <“>
liczby Z6 23 Sprzężenie liczby zespolonej z=a—bj Rys. 2.4 ^o^Oprz^żenie i moduł liczby zespolonej__
liczby Z7 2. Liczby zespolono,    .    n,bi jest odległością pun
liczby Z8 25 25 Postać trygonometryczna liczby zespolonej Przykład 21. Na płaszczyźnie zesoolnn • n
liczby Z
0 .) j pnstać trygonometryczna liczby zespolonej Obie te obserwacje pozwalają uzasadnić pop
liczby Z
1 28 2. Liczby zespolone; _ ( _ *)) ) = /2 (cos -f j sin Ifi). = 26 ( cos 7rr + j sin ^7r)
liczby Z
2 ^^pierwiastkowanie liczb zespolonych__ 4. pierwiastkowanie liczb zespolonych Definicja 2.
liczby Z
3 Pierwiastki z jedności 2krc . . 2/ctr ek = cos--h J sin (2.29) n n dla k = 0, 1, .... n-1
liczby Z
4 f 9J. Pierwiastkowanie liczb    ______ pierwiastki stopnia drufęieeo » i-
liczby Z
5 2. Liczby zcsi • nv jeszcze jeden sposób wyznaczania ,v k0,ej„ym twiertamiu P^^^onej. W t
liczby Z
6 33 2.5. Wzory Eulera, j„d 36. Rozwiązać równanie x2 - (2 4- j)x + (-1 + 7j) = 0. przyKI p
liczby Z
7 2. Liczby zespolone 34 Dodaj,c lub odejmując stronami równości (2.39) i (2.40), otrzymuje
liczby Z
9 36 2. Liczby zespolone Wniosek 2.6.1. Dla liczb zespolonych z =
liczby Z9 26 26 n(z). Argument każdej go argumentem głównym liczby z i oznaczam   
liczby Z
8 35 o fi Postać wykładnicza liczby zespolonej Dowód. Udowodnimy tylko pierwszą równość. Dw

więcej podobnych podstron